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Corso di Statistica - Prof. F abio Zucca Appello 1 - 17 giugno 2019 Nome e cognome: Matricola: c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito. 12957 Esercizio 1 Due giocatori, A e B, lanciano una moneta alternativamente, incominciando da A. I lanci sono indipendenti e la probabilit` a che esca testa ` ep∈ (0, 1). Il gioco termina quando esce testa ed il vincitore ` e il giocatore che ha lanciato la moneta. 1. Calcolare la probabilit` a che il gioco termini al k-esimo lancio. 2. Calcolare la probabilit` a che vinca A. 3. Per quale valore di p il gioco risulta equo? 4. Qual ` e la probabilit` a di vittoria diB dato che al primo lancio esce croce? 5. Se p = 1/2 qual ` e la probabilit` a che su 1000 partite si verifichino almeno 650 vittorie diA? Chi non riesce a risolvere l’esercizio in forma astratta, lo risolva nel caso specifico p = 1/2 (ove possibile). (sugg. potrebbe essere utile ricordare che ∑∞ i=0αi = (1−α)−1 per ogni|α|< 1.) 1 Soluzione. Siano {Xi}i≥1 variabili bernoulliane i.i.d. che controllano la sequenza dei lanci (parametro p): il successo ` e l’uscita di una testa. Il gioco termina dopoT lanci doveT ´ e una variabile con legge geometrica di parametro p. 1. P(T =k) =p(1−p)k−1 per k∈ N, k≥ 1. Nel caso specifico P(T =k) = 1/2k. 2. L’evento “vince A” coincide con l’evento “ T ´ e dispari” pertanto la sua probabilit` a ` e ∞∑ i=0 P(T = 2i + 1) = ∞∑ i=0 p(1−p)2i =p/(1− (1−p)2) = 1/(2−p) (2/3 nel caso specifico). 3. Poich` e 1/(2−p)> 1/2 per ogni p> 0 il gioco ` e sempre favorevole ad A. 4. Condizionato al fatto che al primo lancio esce croce, il gioco ` e come quello originale tranne uno scambio tra A e B. Pertanto la probabilit` a di vittoria diB diviene 1/(2−p). Alternativamente, tramite calcolo diretto e…