Appello 21febbraio2018

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Teoria dei fenomeni aleatori e della stima – 21/02/2018 • Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti. • Verranno valutate solo le parti scritte in penna – non usare correttori. • Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. • Riportare il proprio nome, cognome, e numero di matricola su ogni foglio consegnato. 1 Si consideri un mazzo di 52 carte da poker. Vi vengono distribuite 5 carte a caso dal mazzo. Avendo osservato che la prima carta ` e un 5 di cuori, qual ` e la probabilit` a di ottenere una scala colore?Una scala colore si ottiene con 5 carte in sequenza dello stesso seme (in questo caso cuori). Nella scala l’asso pu` o precedere il 2 o seguire il re. 2 Due v.a. X e Y sono Gaussiane e indipendenti, con X∼N (0, 1) e Y ∼N (3, 9). Determinare: (a) la distribuzione congiunta di X e Y ; (b) il coefficiente di correlazione tra X e Y ; (c) il valore atteso di Z =X 2Y ; 3 Un segnale ha un’ampiezza casualeX distribuita esponenzialmente con media 1. Prima della trasmissione, l’ampiezza del segnale viene distorta da un amplificatore non ideale. La relazione ingresso/uscita dell’amplificatore ` eY = min{2X, 10}, per X ≥ 0, come mostrato in figura. Si determini la ddp fY dell’ampiezza del segnale trasmesso Y . Suggerimento: aiutarsi con la figura per capire come vengono rimappate le probabilit` a. Controllare che la fY integri a 1. x0 105 5 10y 4 Ad un distributore di carburanti i clienti arrivano secondo un processo di Poisson con tasso λ = 15 clienti all’ora. Indipendentemente da tutto il resto, ogni cliente si serve alla pompa di benzina con prob. 0 .4 spendendo mediamente 30 eur, mentre si serve di gasolio con prob. 0 .6 spendendo mediamente 20 eur. Determinare: (a) il ricavo orario medio del distributore; (b) la probabilit` a che…