Appello 22Gennaio2019

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Teoria dei fenomeni aleatori e della stima – 22/01/2019 • Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti • Verranno valutate solo le parti scritte in penna – non usare correttori • Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. • Riportare il proprio nome, cognome, numero di matricola su ogni foglio consegnato • Esercizio da escludere dal punteggio finale: 1 Si consideri una scacchiera quadrata con n×n caselle, con n≥ 2. Si posizionino n torri in modo casuale sulla scacchiera, dove una casella ` e occupata al pi` u da una torre. Qual ` e la probabilit` a che da questa configurazione nessuna torre possa minacciarne un’altra? Una torre pu` o minacciarne un’altra se e solo se si trovano sulla stessa riga o colonna della scacchiera. 2 Si hanno due v.a. discrete X e Y distribuite come in tabella x = 1 x = 2 x = 3 y = 1 1/40 ? 4/40 y = 2 a/40 0 2/40 y = 3 2/40 10/40 8/40 (a) Determinare la probabilit´ a mancante Pr(X = 2,Y = 1). (b) Determinare la ddp di X dato Y = 3, Pr(X =x|Y = 3) per ogni x. (c) Calcolare E[X|Y = 3]. (d) Le v.a. X e Y sono indipendenti? 3 Sia X∼N (0, 1). Qual ` e la legge di probabilit` a diZ =X 2? 4 Gli istanti di caduta dei frutti da un albero si possono modellare come un processo di Poisson con tassoλ = 2 frutti al giorno. Al contatto col terreno i frutti si rompono con probabilit` a p = 0.5, indipendentemente dagli altri frutti. Calcolare la probabilit` a di trovare pi` u di 2 frutti integri sul terreno in un periodo di 3 giorni. 5 SiaY ∼N (0, 1), da cui si genera un valore y per ottenere un’osservazione distribuita come X∼ Exp(y2). Trovare lo stimatore MAP di Y basato sull’osservazione X. 6 Proporre un algoritmo che, sfruttando un generatore di campioni indipendentiUi distribuiti uniformemente in [0, 1), generi una…