Appello 24luglio2019

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Teoria dei fenomeni aleatori e della stima – 24/07/2019 • Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti. • Verranno valutate solo le parti scritte in penna – non usare correttori. • Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. • Riportare il proprio nome, cognome, e numero di matricola su ogni foglio consegnato. • Esercizio da escludere dal punteggio finale: 1 Si consideri la parola piccola. Pescando un anagramma della parola a caso, qual ` e la probabilit` a che la parola pescata non abbia le due lettere c in posizione adiacente? Un anagramma ` e una parola ottenuta permutando le lettere della parola di partenza. 2 Due v.a. continue X e Y hanno legge congiunta fX,Y (x,y ) =ke−x−y per x> 0 e y >0, e fX,Y (x,y ) = 0 altrove. Determinare: (a) il valore della costante k. (b) le marginali di X e Y , e dire se le v.a. sono indipendenti. Giustificare la risposta. (c) il valore atteso E[XY ]. 3 Sia X∼U [−1, 1] e U = √ |X|. Trovare la legge di probabilit` a diU. 4 Un trasmettitore ` e dotato din = 50 antenne, ognuna delle quali trasmette un segnale Xi con E[Xi] = 0, Var[Xi] = 1, e Var[X 2 i ] = 0.5. Tutti i segnali sono indipendenti e identicamente distribuiti. Calcolare un’approssimazione alla probabilit` a che la potenza istantanea trasmessa per antenna S = 1 50 ∑50 i=1X 2 i superi il valore 1: (a) usando la diseguaglianza di Markov (b) usando il teorema centrale del limite Dire quale delle due approssimazioni ` e pi` u significativa e perch´ e. 5 Si vuole ottenere una stima numerica della costante di Euler-Mascheroni γ = ∫∞ 0 − log(x)e−xdx. Usando n campioni indipendenti Ui∼U [0, 1] per i = 1,...,n proporre un algoritmo di Importance Sampling per la stima di γ. Suggerimento: parte della funzione integranda ` e la legge di probabilit` a di…