Appello 31gennaio2018

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Teoria dei fenomeni aleatori e della stima – 31/01/2018 • Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti. • Verranno valutate solo le parti scritte in penna – non usare correttori. • Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. • Riportare il proprio nome, cognome, e numero di matricola su ogni foglio consegnato. 1 Si considerino le cifre da 1 a 5 e tutti i numeri interi x di 5 cifre, con 10000 <x< 100000, che si possono formare con queste cifre. Si chiami A l’insieme di questi numeri. (a) Quanti numeri contiene A? (b) Quanti numeri in A sono formati da cifre tutte distinte? Si chiami B questo sottoinsieme. (c) Si estrae un numero a caso X, in maniera uniforme, dall’insiemeA. Qual ´ e la probabilit´ a cheX∈B sapendo che X >30000? 2 Una v.a. continua X ha ddp fX(x) =α(1−x2) per−1<x< 1 e fX(x) = 0 altrove. Determinare: (a) Il valore di α. (b) I momenti E[Xn] per ogni n = 1, 2,··· . 3 Un segnale ha un’ampiezza casuale X distribuita uniformemente nell’intervallo [−A,A ], doveA> 0 ´ e una costante nota. Si determini la ddp fY della potenza del segnale Y = βX 2, dove β > 0 ´ e una costante nota. Suggerimento: si usi il metodo della cumulata. 4 Considerare la regioneR in figura delimitata dal poligono di 6 lati. Due v.a. X e Y hanno distribuzione congiunta uniforme nella regioneR e zero altrimenti. Si vuole stimare Y basandosi sull’osservazione X. (a) Trovare la stima LMS di Y , ˆYLMS =g(X). (b) Calcolare l’errore quadratico medio E[(Y−g(X))2]. (c) Esiste uno stimatore lineare con lo stesso errore quadratico medio dello stimatore LMS? x0 21 1 2y R 5 L’evoluzione del meteo giornaliero in una data regione geografica ´ e descritta stocasticamente dalla catena di Markov tempo-discreta in figura (gli stati sono Precipitazioni P e Non…