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Esercizi di Fondamenti di Segnali Biomedici Serie e trasformata di Fourier 15 esercizi proposti con soluzione completa Indicazioni di lettura Ogni esercizio è accompagnato dall'indicatore di di coltà: ⋆ ⋆ ⋆ base ⋆⋆ ⋆ intermedio ⋆⋆⋆ avanzato La prima parte raccoglie gli enunciati; le soluzioni sono nella seconda parte. Documento didattico generato in formato LATEX. Versione 1.0
Fondamenti di Segnali Biomedici 4 1 Periodicità, frequenza fondamentale e componenti Esercizio 1 Periodo fondamentale di una somma di sinusoidi ⋆⋆⋆ Si consideri il segnale y(t) = sin(4πt) + cos(6πt). a) Si calcolino il periodo T e T delle due componenti. 1 2 b) Si determini il periodo fondamentale T del segnale somma e la frequenza fondamentale f . 0 0 c) Si indichi a quali indici k corrispondono le due componenti nella serie di Fourier. Esercizio 2 Componenti in fase e quadratura ⋆⋆⋆ Sia dato il segnale a tempo continuo e periodico y(t) = 4 + 6 sin(2πt) + 3 cos(4πt) − 2 sin(8πt). Si esprima y(t) come somma delle componenti in fase e quadratura nella forma cartesiana della serie di Fourier, individuando esplicitamente il valor medio m e i coe cienti c , d per ogni k ≥ 1 non nullo. k k Esercizio 3 Periodicità di una somma con frequenze incommensurabili in apparenza ⋆⋆⋆ Si consideri il segnale y(t) = cos(8πt) + sin(12πt) + 3 cos(20πt). a) Si veri chi che il segnale è periodico e si determini il periodo fondamentale T e la frequenza fondamentale f . 0 0 b) Si scrivano i coe cienti m, c , d non nulli della serie di Fourier. k k c) Quante componenti spettrali distinte sono necessarie per rappresentare y(t)? 2 Calcolo dei coe cienti della serie di Fourier Esercizio 4 Coe cienti complessi di un'onda quadra non centrata ⋆⋆⋆ Sia x(t) il segnale periodico di periodo T = 4 de nito su un periodo come 0 ( 2 0<t<1 x(t) = 0 1<t<4 Si calcolino i coe cienti complessi a della serie di Fourier di x(t). k
Fondamenti di Segnali Biomedici 8 5 Soluzioni Soluzione 1 a) I due segnali sinusoidali hanno pulsazione rispettivamente ω = 4π e ω = 6π, da cui1 2 2π 1 2π 1 T1 = = , T2 = = . ω1 2 ω2 3 b) Il rapporto T /T = 3/2 è razionale, quindi la somma è periodica. Il periodo fondamen- tale è il minimo comune multiplo dei due periodi: 1 2 T0 = mcm 12 , 13 = 1, poiché 1 = 2 · = 3 · . La frequenza fondamentale è dunque f = 1 Hz, equivalentemente 1 1 ω = 2π . 2 3 0 c) Identi chiamo gli indici k: 0 sin(4πt) = sin(2 · 2πt) corrisponde a k = 2 (componente in quadratura). cos(6πt) = cos(3 · 2πt) corrisponde a k = 3 (componente in fase). Risultato: T = 1 s, f = 1 Hz, k ∈ {2, 3} 0 0 Soluzione 2 La frequenza fondamentale è la massima frequenza che divide tutte quelle presenti. Le tre componenti hanno pulsazioni 2π, 4π, 8π, ovvero frequenze 1, 2, 4 Hz. Il loro massimo comune divisore è 1 Hz, quindi f = 1 Hz e ω = 2π. Mappiamo allora ogni componente sull'indice k tale che la sua pulsazione sia kω : 0 0 0 componente pulsazione k = ω/ω contributo 0 6 sin(2πt) 2π 1 d1 = 6 3 cos(4πt) 4π 2 c2 = 3 −2 sin(8πt) 8π 4 d4 = −2 Il termine costante 4 è il valor medio: m = 4. Risultato: m = 4, c = 3, d = 6, d = −2 ; tutti gli altri c , d sono nulli. In forma cartesiana esplicita: 2 1 4 k k y(t) = 4 + 0 · cos(2πt) + 6 sin(2πt) + 3 cos(4πt) + 0 · sin(4πt) − 2 sin(8πt). Soluzione 3 a) Le tre componenti hanno pulsazioni 8π, 12π, 20π, cioè frequenze 4, 6, 10 Hz. Il loro massimo comune divisore è MCD(4, 6, 10) = 2 =⇒ f0 = 2 Hz, ω0 = 4π, T0 = 12 s.
Fondamenti di Segnali Biomedici 12 Soluzione 8 Metodo diretto. Per de nizione: Z +∞ Z 1 −j2πf t X(f ) = 5 rect2 (t) e dt = 5 e−j2πf t dt. −∞ −1 e−j2πf t 1 e−j2πf − e+j2πf −2j sin(2πf ) sin(2πf ) X(f ) = 5 · =5· =5· =5· . −j2πf −1 −j2πf −j2πf πf Riconosciamo la funzione sinc: sinc(2f ) = sin(2πf )/(2πf ), quindi sin(2πf ) = 2 sinc(2f ), πf e otteniamo X(f ) = 10 sinc(2f ). Veri ca tramite la trasformata notevole. Per A rect (t) ↔ AT sinc(T f ), con A = 5 e T = 2: T X(f ) = 5 · 2 · sinc(2f ) = 10 sinc(2f ). ✓ Risultato: X(f ) = 10 sinc(2f ) . Soluzione 9 a) Identi cazione del segnale. La funzione rect (τ ) vale 1 per |τ | < 1 e 0 altrove. Imponendo τ = t/3: 2 rect2 (t/3) = 1 ⇐⇒ |t/3| < 1 ⇐⇒ |t| < 3. Quindi x(t) è un rettangolo di ampiezza 4 e durata 6 (da −3 a +3). b) Applicazione della proprietà di scalatura. Partiamo dal segnale base x (t) = rect (t), di cui sappiamo: 0 2 X0 (f ) = 2 sinc(2f ). Sia ora x (t) = rect (t/3) = x (t/3). Applicando la proprietà di scalatura x(at) ↔ X(f /a) con a = 1/3: 1 2 0 1 |a| 1 f X1 (f ) = X0 = 3 X0 (3f ) = 3 · 2 sinc(2 · 3f ) = 6 sinc(6f ). |1/3| 1/3 In ne per la linearità x(t) = 4 x (t): 1 X(f ) = 4 · 6 sinc(6f ) = 24 sinc(6f ). Risultato: X(f ) = 24 sinc(6f ) . Veri ca dimensionale. Il segnale ha area 4 · 6 = 24, e infatti X(0) = 24 sinc(0) = 24: la trasformata in f = 0 coincide sempre con l'area del segnale.
Fondamenti di Segnali Biomedici 16 Esplicitiamo i casi: k = 0: sinc(0) = 1 ⇒ a = 1/2. È il duty cycle ed è anche il valor medio dell'onda quadra. 0 k pari, k ̸= 0: sinc(k/2) = sinc(intero non nullo) = 0 ⇒ a = 0. k k dispari: sinc(k/2) = . Poiché sin(kπ/2) = (−1) per k dispari: sin(kπ/2) (k−1)/2 kπ/2 1 2(−1)(k−1)/2 (−1)(k−1)/2 ak = · = . 2 kπ kπ Esplicitamente: a = 1/π, a = −1/(3π), a = 1/(5π), a = −1/(7π), e così via. 1 3 5 7 c) Confronto con integrazione diretta. Calcolando direttamente per integrazione su un periodo dell'onda quadra: Z 1/2 1 1 2 sin(kπ/2) sin(kπ/2) ak = e−jπkt dt = · = , k ̸= 0. 2 −1/2 2 kπ kπ Si veri ca facilmente che questo coincide con sinc(k/2), confermando il risultato. Il 1 metodo della periodicizzazione consente di evitare l'integrale, riducendo il problema a una 2 semplice valutazione della trasformata del segnale base sui multipli di f . 0 Risultato: a = sinc(k/2) ; vale a = e i soli a non nulli per k ̸= 0 sono quelli con 1 1 k dispari. k 2 0 2 k Interpretazione. Questo è il signi cato profondo della relazione fra serie e trasformata di Fourier: i coe cienti della serie di un segnale periodico sono i campioni della trasformata del suo segnale base aperiodico, divisi per il periodo. Ogni volta che si periodicizza un segnale, lo spettro continuo viene "campionato" con passo 1/T . 0
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