Collection of exams 2011 2012

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Analisi Matematica 1 e Geometria - 10/11/09 - Ing. Gestionale - A Docenti: M. Boella, D. Cassani, R. Notari, C. Perelli Cippo Tutti i calcoli devono essere riportati per la correzione, e le risposte devono essere giustificate. Esercizio 1. Sia f : [ − 1, 2] → R la funzione il cui grafico ` e disegnare con cura i grafici di y x− 1 1 1 2 1√ 2 f1(x) = 2 f (|1 − x|) e f2(x) = 1 − f (|x| − 1). Svolgimento. Riportiamo di seguito i grafici delle due funzioni, a sinistr a f1, ed a destra f2. y x−1 2 1 3 y x−3 −1 1 1 3 Esercizio 2. Si consideri l’insieme E = { ab |a ∈ A, b ∈ B } dove A = [2, 3] e B = [0, 2). Stabilire se E ` e limitato e determinare sup E, inf E; esistono il massimo e minimo di E? Svolgimento. Vogliamo verificare che inf( E) = min( E) = 1 , mentre sup( E) = 9 . Per verificare la prima affermazione, osserviamo che, fissato a ∈ [2, 3], la funzione ax ` e una funzione crescente della variabile x ∈ [0, 2). Quindi, 1 = a0 ≤ ax per ogni a e per ogni x. Ne segue che 1 = min( E) = inf( E). Per verificare la seconda affermazione, osserviamo che, come d etto prima, ax < a 2 per ogni a ∈ [2, 3]. La funzione x2 con x ∈ [2, 3] ` e ancora una funzione crescente, e quindi ax < a 2 < 32 = 9 per ogni a ∈ [2, 3] e per ogni x ∈ [0, 2). Quindi, 9 ` e maggiorante per E. Sia ora ε un numero reale che verifica 8 > ε > 0. Se x ` e un numero reale che verifica (0 <) log3(9 − ε) < x < 2 allora (1 <)9 − ε < 3x < 9 e 3 x ∈ E. Ne segue che 9 verifica entrambe le condizioni dell’ estremo superiore, da cui 9 = sup( E). Esercizio 3. (a) Scrivere in forma algebrica e trigonometrica il numero c omplesso w = (1 + i)3. (b) Determinare tutte le soluzioni dell’equazione: ( z3 − w)(z3 − z|z|2 − 1) = 0. 1 2 (c) Rappresentare nel piano complesso la regione R = {z ∈ C |0 < |z| ≤ |w|, arg z ∈ (π/3, π/2)} .…