Collection of exams 2013 2014

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PRIMA PROV A IN ITINERE DI ANALISI 1 E GEOMETRIA - 29 NOVEMBRE 2013 VERSIONE 1 DOCENTI: E.BERETTA, M.BOELLA, M.CITTERIO, R. NOTARI Parte A Esercizio 1. Enunciare il teorema del Confronto per le successioni, e dimostrar e solo una delle due affermazioni. Svolgimento. Consultare un libro di teoria. Esercizio 2. Enunciare il Principio d’ induzione ed applicarlo poi per verificare che n! ≥ 3n− 2 per ogni numero naturale n ≥ 2. Svolgimento. Per l’ enunciato del Principio d’ Induzione, consultare un libro di teo ria. Sia quindi E = {n ∈ N |n ≥ 2, n ! ≥ 3n− 2}. Vogliamo provare che E = N \ { 1} usando il principio d’ induzione. Base d’ induzione n = 2 : sia 2 ≥ 2, sia 2! = 2 ≥ 30 = 1 sono vere, e quindi 2 ∈ E. Ipotesi d’ induzione: sia n ∈ E, ossia n ≥ 2, n ! ≥ 3n− 2. Tesi: n + 1 ∈ E, ossia n + 1 ≥ 2 e ( n + 1)! ≥ 3n− 1. La prima condizione ` e chiaramente vera, essendo n ≥ 2 per ipotesi. Stabiliamo allora se anche la seconda condizione ` e verificata. Da n! ≥ 3n− 2 si ricava che (n+1)·n! ≥ (n+1)3n− 2 per la positivit` a di n + 1. Da n ≥ 2 si ricava che n + 1 ≥ 3 e quindi ( n + 1)3n− 2 ≥ 3 ·3n− 2 = 3n− 1, per la positivit` a di 3 n− 2. Riassumendo, abbiamo (n + 1)! = ( n + 1) ·n! ≥ (n + 1)3n− 2 ≥ 3 ·3n− 2 = 3 n− 1, e quindi anche la seconda disuguaglianza ` e verificata. In conclusion e, n + 1 ∈ E, e quindi, per il Principio d’ induzione, possiamo affermare che E = N \ { 1}. Esercizio 3. Definire il prodotto vettoriale. Risolvere quindi l’ equazione ⃗ v∧ ⃗j = ⃗k, con (⃗i, ⃗j, ⃗k) base naturale dei vettori geometrici dello spazio euclideo di dimen sione 3 . Svolgimento. Per la definizione di prodotto vettoriale, si consulti un libro di teor ia. Sia quindi ⃗ v= a⃗i + b⃗j + c⃗k con a, b, c, ∈ R. Con facili calcoli si ha che ⃗ v∧ ⃗j = a⃗k − c⃗i. Ricordando la condizione di uguaglianza…