Dimostrazioni con soluzione

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Dimostrazioni da sapere: 1. Equivalenza tra minimo energia e soluzione del sistema 2. Adeguatezza criterio della differenza tra iterate successive per metodi iterativi 3. Convergenza metodo delle potenze 4. Adeguatezza criterio delle differenze tra iterate successive per metodo iterazione di punto fisso 5. Metodo di Newton come metodo di iterazione di punto fisso 6. Equivalenza tra minimo di energia e approssimazione nel senso dei minimi quadrati 7. Formula dell’errore di punto medio semplice 8. Buona posizione dell’equazioni differenziali ordinarie 9. Risultato di convergenza per il metodo di Eulero in avanti 10. Stabilità condizionata dei metodi numerici per risolvere EDO 11. Metodo dell’energia per dimostrare unicità della soluzione del problema di diffusione 12. Teorema di esistenz a e unicità della soluzione di problemi di diffusione in dimensione spaziale maggiore di 1 13. Unicità della soluzione di problemi di diffusione in dimensione spaziale maggiore di 1 tramite metodo dell’energia (metodo integrale) 14. Dimostrazione unicità soluzione problema di Poisson Equivalenza tra minimo energia e soluzione del sistema Enunciato: risolvere il sistema lineare 𝐴𝑥⃗ =𝑏⃗⃗ equivale a minimizzare l’energia Φ(𝑦⃗) (ovvero una funzione di stato che ha la proprietà di essere quadratica e non negativa e di decrescere nel tempo qualora il sistema si asintoticamente stabile ed evolva liberamente) definita nel seguente modo: Φ(𝑦⃗)=1 2𝑦⃗𝑇𝐴𝑦⃗−𝑦⃗𝑇𝑏⃗⃗ Quindi si ha che: 𝑥 è 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝐴𝑥⃗ =𝑏⃗⃗ ⇔ ∇Φ(𝑦⃗)=0 Dimostrazione: per dimostrare questo teorema occorre dimostrare le due implicazioni: • Si suppone che 𝑥 sia soluzione del sistema 𝐴𝑥⃗ =𝑏⃗⃗ e si dimostra che sia il minimo della funzione Φ Φ(𝑥⃗+𝑣⃗)=1 2(𝑥⃗+𝑣⃗)𝑇𝐴(𝑥⃗+𝑣⃗)−(𝑥⃗+𝑣⃗)𝑇𝑏⃗⃗ = =1 2𝑥⃗𝑇𝐴𝑥⃗+1 2𝑥⃗𝑇𝐴𝑣⃗+1 2𝑣⃗𝑇𝐴𝑥⃗+1 2𝑣⃗𝑇𝐴𝑣⃗−𝑥⃗𝑇𝑏⃗⃗−𝑣⃗𝑇𝑏⃗⃗ =…