Dimostrazioni Teoremi

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University: Politecnico di Milano
Degree programme: Common Courses
Subject: Analisi e geometria 1
Material language: Italian
Academic year: 2025-2026
Classification: Notes · Other
Original format: PDF
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26/01/26, 10:05 StackEdit Dimostrazioni Analisi 1 Numeri Reali e Complessi: Irrazionalità di 2 Teorema: Il numero 2 è irrazionale. Ovvero, non esistono due numeri interi a e b tali per cui ab = 2. Dimostrazione (per assurdo) Si proceda per contraddizione. Supponiamo che 2 sia un numero razionale. Esisteranno allora due numeri interi a, b ∈ Z, con b =  0, tali che: a 2= b Assumiamo inoltre che la frazione ab sia ridotta ai minimi termini, il che implica che mcd(a, b) = 1 (ovvero a e b non hanno fattori comuni oltre all’unità). 1. Quadrato della relazione: Elevando entrambi i membri al quadrato otteniamo: a2 2 = 2 ⟹ a2 = 2b2 b Poiché a2 è il doppio di un intero, concludiamo che a2 è pari. Di conseguenza, anche a deve essere pari (il quadrato di un numero dispari è sempre dispari). 2. Sostituzione: Essendo a pari, possiamo scriverlo come a = 2k per un opportuno k ∈ Z. Sostituendo nell’equazione precedente: (2k)2 = 2b2 ⟹ 4k 2 = 2b2 Dividendo per 2: https://stackedit.io/app# 1/36

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26/01/26, 10:05 StackEdit 0 < ∣x − x0 ∣ < δϵ′ ⟹ ∣f (x) − l∣ < ϵ 2. Se limx→x0 h(x) = l, allora ∀ϵ > 0, ∃δϵ′′ > 0 tale che per ogni x: 0 < ∣x − x0 ∣ < δϵ′′ ⟹ ∣h(x) − l∣ < ϵ Consideriamo δϵ come il valore minore tra δϵ′ e δϵ′′ (δϵ = min{δϵ′ , δϵ′′ }). Allora, per ogni x tale che 0 < ∣x − x0 ∣ < δϵ , valgono contemporaneamente: ∣f (x) − l∣ < ϵ e ∣h(x) − l∣ < ϵ Esplicitando i valori assoluti: l − ϵ < f (x) < l + ϵ e l − ϵ < h(x) < l + ϵ Unendo queste informazioni con l’ipotesi iniziale f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), otteniamo la catena di disuguaglianze: l − ϵ < f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) < l + ϵ Quindi: l − ϵ < g(x) < l + ϵ ⟹ ∣g(x) − l∣ < ϵ Resta così dimostrato che limx→x0 g(x) = l. Teorema degli Zeri Enunciato Sia f : [a, b] → R una funzione che soddisfa le seguenti due ipotesi: 1. Continuità: f è una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b]. 2. Segni opposti agli estremi: La funzione assume valori di segno opposto ai due estremi dell’intervallo, ovvero f (a) ⋅ f (b) < 0. Tesi: https://stackedit.io/app# 9/36

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26/01/26, 10:05 StackEdit f (b) − f (a) y = f (a) + (x − a) b−a Il teorema afferma che esiste almeno un punto c in cui la retta tangente al grafico della funzione ha la stessa pendenza (è parallela) della retta secante passante per gli estremi dell’intervallo. Dimostrazione La dimostrazione consiste nel ricondursi al Teorema di Rolle tramite una funzione ausiliaria. 1. Definizione della funzione ausiliaria: Sia g(x) la differenza tra la funzione f (x) e l’equazione della retta secante: f (b) − f (a) g(x) = f (x) − [f (a) + (x − a)] b−a 2. Verifica delle ipotesi di Rolle per g(x): Continuità e Derivabilità: g è continua in [a, b] e derivabile in (a, b) poiché somma di funzioni che godono di queste proprietà. Uguaglianza agli estremi: Calcolando i valori agli estremi, si nota che: g(a) = g(b) = 0 3. Applicazione di Rolle: Possiamo quindi applicare il Teorema di Rolle alla funzione g , il quale garantisce l’esistenza di un punto c ∈ (a, b) tale che g ′ (c) = 0. 4. Calcolo della derivata: Calcoliamo la derivata di g(x): f (b) − f (a) g ′ (x) = f ′ (x) − b−a Poiché g ′ (c) = 0, abbiamo: https://stackedit.io/app# 18/36

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26/01/26, 10:05 StackEdit b ∫ f (t) dt = G(b) − G(a) a ∣b Spesso denotato come: G(b) − G(a) = G(x) = [G(x)]ba . ∣a Dimostrazione Parte 1: Derivabilità della funzione integrale Mostriamo che F ′ (x) = f (x) usando la definizione di derivata tramite il limite del rapporto incrementale. Sia x ∈ (a, b) e h =  0 tale che x + h ∈ (a, b): 1. Rapporto incrementale: = [∫ f (t) dt − ∫ f (t) dt] x+h x F (x + h) − F (x) 1 h h a a Per le proprietà degli integrali, l’espressione si semplifica in: [∫ f (t) dt + ∫ f (t) dt − ∫ f (t) dt] = ∫ x x+h x 1 1 x+h f (t) dt h a x a h x 2. Applicazione del Teorema della Media Integrale: Per il teorema della media integrale, esiste un punto zh compreso nell’intervallo tra x e x + h tale che: 1 x+h f (zh ) = ∫ f (t) dt h x 3. Passaggio al limite: Quando h → 0, il punto zh è costretto a tendere a x (zh → x). Poiché f è continua, abbiamo che f (zh ) → f (x). Pertanto: F (x + h) − F (x) F ′ (x) = lim = f (x) h→0 h Parte 2: Identità con una generica primitiva https://stackedit.io/app# 27/36

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26/01/26, 10:05 StackEdit Questo teorema giustifica perché la lunghezza è una proprietà intrinseca della curva (geometria) e non della legge di moto con cui viene percorsa (cinematica). https://stackedit.io/app# 36/36

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