Dispensa numeri complessi

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Argomento 14 Numeri Complessi È ben noto che l’insieme R dei numeri reali (che include tutti gli altri insiemi numerici finora incontrati in questo corso) non è sufficientemente “ampio” da permettere la risoluzione di equazioni, anche semplici, a coe fficienti reali, come ad esempio x2 +1 = 0 . Per risolvere questo problema costruiamo l’insieme dei numeri complessi. Numeri complessi. Loro rappresentazione geometrica. L’equazione x2 +1 = 0 h as o l u z i o n ei nu nc e r t oi n s i e m en u m e r i c os o l os ee s s oc o n t i e n eu nn u m e r oi l cui quadrato vale −1. Chiamiamo questo “numero” unità immaginaria el od e n o t i a m oc o ni. Per definizione si ha quindi i2 = −1. A partire dall’unità immaginaria si costruiscono i numeri complessi nel modo seguente. Definizione 14.1 Si dice numero complesso ogni scrittura della forma a + ib, con a, b numeri reali e i unità immaginaria. L’insieme dei numeri complessi si denota con C es ih a : C = © a + ib tali che a, b ∈ R e i2 = −1 ª . Di solito, i numeri complessi si indicano con le ultime lettere dell’alfabeto: z, w, ... Dato il numero complesso z = a + ib,in u m e r ir e a l ia e b si dicono rispettivamente parte reale e parte immaginaria di z es is c r i v e :a =R e (z), b =I m (z). Esempi 14.2 • z =1 − 2i è un numero complesso con parte reale 1 e parte immaginaria −2. • z = − √ 2+0 i = − √ 2 è un numero complesso con parte reale − √ 2 e parte immaginaria 0. • z =0+4 i =4 i è un numero complesso con parte reale 0 e parte immaginaria 4. Due numeri complessi z = a + ib e w = c + id si dicono uguali se hanno la stessa parte reale e la stessa parte immaginaria: z = w ⇐⇒ a = c e b = d. Nell’insieme C d e in u m e r ic o m p l e s s is id efiniscono inoltre le seguenti operazioni : I Somma di due numeri complessi z = a + ib e w =…