Dispensa sistemi lineari

Page 1

Sistemi lineari Sistemi lineari: definizioni ▶ Un’equazione nelle n incognite x1, . . . , xn della forma c1x1 +··· + cnxn = b ove c1, . . . , cn sono elementi nel campo K (detti coefficienti) e b ` e un elemento diK (detto termine noto) si chiama equazione lineare in x1, . . . , xn a coefficienti in K. ▶ Un sistema lineare di m equazioni nelle n incognite x1, . . . , xn ` e un sistema formato dam equazioni lineari in x1, . . . , xn, ossia:    a11x1 + a12x2 + .. + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + .. + a2nxn = b2 : : : am1x1 + am2x2 + .. + amnxn = bm (*) ▶ Una soluzione di (∗) ` e una n-pla di elementi di K, (˜x1, . . . ,˜xn), che sostituita alle incognite soddisfa simultaneamente tutte le equazioni del sistema. ▶ La matrice di tipo ( m, n) : A = (aij)j=1...n i=1...m si chiama matrice dei coefficienti del sistema . Il vettore colonna di tipo ( m, 1) : b = (bi)m i=1 si chiama vettore dei termini noti . La matrice di tipo (m, n + 1) : (A|b) ottenuta accostando alle colonne della matrice A dei coefficienti il vettore (colonna) b dei termini noti si chiama matrice completa del sistema . Esempio 1.1 Dato il sistema di due equazioni in tre incognite a coefficienti reali { 2x + 3y− z = 0 4x + 6y− 2z =−3 , la matrice del sistema, il vettore dei termini noti e la matrice completa sono, rispettivamente: A = ( 2 3 −1 4 6 −2 ) , b = ( 0 −3 ) , (A|b) = ( 2 3 −1 4 6 −2 ⏐⏐⏐⏐ 0 −3 ) . ▶ Detto x = (xj)n j=1 il vettore colonna di tipo ( n, 1) delle incognite il sistema (∗) si pu` o trascrivere in forma matriciale Ax = b Una sua soluzione ` e quindi un vettore colonna di tipo (n, 1) ˜x = (˜xj)n j=1 di numeri reali che soddisfa la relazione matriciale A˜x = b. ▶ Un sistema si dice possibile (o risolubile) se ammette almeno una soluzione. In tal caso le equazioni si dicono compatibili. ▶ Un sistema si…