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g.„ Esercizio 1 (Funzione Lineare) Determina la soluzione u = u(z, t) per il seguente problema, con diffusivita k = 1 sull'intervallo (0, L): Ut — Ure = 0 x € (0,L),t>0 uz(0,t) = u(L,t)=0 t>0 u(x,0) = z x e (0,2) 4 Esercizio 2 (Funzione a Tratti Costante, Intervallo (0, T)) Determina la soluzione u = u(x, t) per il seguente problema, con diffusività k = 4 sull'intervallo (0,7): ut — AUgy = 0 xz e (0,m),t>0 uz(0,t) =uz(7,t) =0 t>0 u(z,0) = f(x) x € (0,7) dove Esercizio 3 (Funzione Quadrata, Intervallo (0, 1)) v Determina la soluzione u = u(z, t) per il seguente problema, con diffusivita k = 1/2 sull'intervallo (0, 1):
u(z,0) = 2? x € (0,1) IA Esercizio 4 (Funzione a Tratti Lineare, Intervallo (0, 2)) Determina la soluzione u = u(x, t) per il seguente problema, con diffusività k = 1 sull'intervallo (0,2): Ut — Ure = 0 x €(0,2),t>0 uz (0,t) = up(2,t)=0 t>0 u(x, 0) = g(x) x € (0,2) dove g(z) è la funzione triangolare: = © se0<z<l a _|2-e sel<z<2 „/ Esercizio 5 (Dato Iniziale Z — x) Determina la soluzione u = u(z, t) per il seguente problema, con diffusività k = 1 sull'intervallo (0, L): Ut — Ure = 0 x €(0,L),t>0 u,(0,t) =u,(L,t)=0 t>0 u(1,0)=L- z x € (0,L)
o Soluzione Esercizio Z: FUNZIONE a Iratti Costante 1. Parametri: k = 4, L = m. 2. Coefficienti di Fourier: e Termine Costante (n = 0): * Coefficientia, (n > 1): dy = JA f(x) cos(na)dz = 2f 1: cos(na)dx 2 beh 2. (7) a, = — = — sin | — T n * npari: ay, = 0. © n=4k+l:aqq+1= e e n=4k + dI A4k+3 = ays (— 0. 3. Soluzione: 1 < 2 1)? nal ay APC u(z,t) zt >. Gk+ Dr! 1)* cos((2k + 1)z)e . Esercizio 3: f(x) = a? 1. Parametri: k = 1/2, L = 1. 2. Coefficienti di Fourier: * Termine Costante (n = 0): a _ 1 fas [28]!
* Coefficienti a, (n > 1): 2 1 An = J x cos(nTa)dr 0 1 Integrando per parti due volte (o notando che ACZ - x?) = —2), si ottiene: 4(—1)" an = 2-2 nen 3. Soluzione: 1,2, 2 =ż+ 2 = cos(nnz)e 2" 7 * = : IN Esercizio 4: Funzione Triangolare 1. Parametri: k = 1, L = 2.2. Coefficienti di Fourier: e Termine Costante (n = 0): 2 20) — > g(z)dz = ; - (Area del triangolo) = 0 Nile LTS Nie R» = Sini Il |- * Coefficienti a,,(n > 1): an = > [steven (73 )dz= [| scs ("2") + | (2-2)c0 (5) dz Dopo calcoli piu lunghi (che sfruttano la simmetria):
// Soluzione Esercizio 5: f(x) = L—2 1. Parametri: k = 1, L = L. 2. Coefficienti di Fourier: e Termine Costante (n = 0): * Coefficienti a, (n > 1): 2 (È NTL =] (L- 2) cos (p) dz Notando che Z — x = L — (x), e confrontando con f(x) = z dall'Esercizio 1 (o usando la stessa tecnica di integrazione per parti): © (1-(-1)") * an=0pern pari. 4L + dn = 72,2 per n dispari. 3. Soluzione:
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