Esercitazione 19giugno

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38 Teoremi spettrali e forme quadratiche 4.6 Determinare il segno della forma quadratica q(x, y, z) = 5 x2 + y2 + 3z2 + 8xz − 8yz e dimostrare che la sua restrizione al sottospazio V di equazione x − 2y − 2z = 0 è definita positiva. Soluzione. La matrice rappresentativa della forma rispetto alla base canonica è A = [5 0 4 0 1 − 4 4 − 4 3 ] . (4.22) Dal momento che det A = − 81 < 0 uno almeno degli autovalori deve essere negativo; ma trA = 9 > 0 dunque uno almeno degli autovalori è positivo; in conclusione, A e di conseguenza q è indefinita. Per esaminare la restrizione di q a V osserviamo che V = ker [ 1 − 2 − 2 ] = ⟨ [2 1 0 ] , [2 0 1 ] ⟩ (4.23) Se indichiamo con B la matrice le cui colonne sono i generatori di V indicati sopra, allora la restrizione di q a V ha matrice rappresentativa, rispetto alla base B BtAB = [ 21 24 24 39 ] . (4.24) e questa matrice è definita positiva perché i suoi minori principali di nord-ovest sono δ 1 = 21 > 0 e δ 2 = 243 > 0; dunque q|V è definita positiva. 4.7 Calcolare la fattorizzazione di Cholesky della matrice A = [ 3 − 1 − 1 − 1 3 − 1 − 1 − 1 3 ] Soluzione. Si osservi anzitutto che una fattorizzazione di Cholesky esiste perché A è simme- trica e definita positiva; infatti minori principali di nord-ovest di A sono δ 1 = 3 > 0, δ 2 = 8 > 0, δ 3 = 16 > 0. (4.25) Il metodo più efficiente per calcolare la fattorizzazione è quello di ridurre A a scala. Lo facciamo indicando a destra della matrice i moltiplicatori. A ↦→ [3 − 1 − 1 0 8/3 − 4/3 0 − 4/3 8/3 ] m21 = − 1/3 m31 = − 1/3 ↦→ [3 − 1 − 1 0 8/3 − 4/3 0 0 2 ] m32 = − 1/2 (4.26) Abbiamo dunque la fattorizzazione A = [ 1 0 0 − 1/3 1 0 − 1/3 − 1/2 1 ] [3 − 1 − 1 0 8/3 − 4/3 0 0 2 ] (4.27) = [ 1 0 0 − 1/3 1 0 − 1/3 − 1/2 1 ] [3 0 0 0 8/3 0 0 0 2 ] [1 − 1/3 − 1/3 0 1 − 1/2 0 0 1 ] (4.28) =…