Esercitazione 6 Intervalli

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Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica A.A. 2019/2020 Esercizio 1.Si consideri il modello statistico dato dalle leggi esponenziali E(⌫),⌫>0, e siaX1,...,Xn un campione casuale estratto da una popolazione descritta da tale modello. Trovare gli intervalli di confidenza per⌫di livello =1 ↵costruiti sulla base di: (a) test LR per⌫=⌫0contro⌫6=⌫0; (b) quantit` a pivotaleQ=2⌫Pn i=1Xi. Esercizio 2.Per un campione di ampiezza 1 dalla legge f(x;✓)=2 ✓2(✓ x), 0<x<✓ , si trovino gli intervalli di confidenza per✓di livello =1 ↵costruiti tramite: (a) test LR per✓=✓0contro✓6=✓0; (b) quantit` a pivotaleF✓(X); (c) quantit` a pivotaleX/✓, scegliendo quello del tipo x, b(x) . Quale intervallo scegliereste per una stima di✓ad un livello =0.95? Esercizio 3.SiaX1,...,Xnun campione casuale da una legge uniforme sull’intervallo [0 ,✓],✓>0. Trovare gli intervalli di confidenza per✓di livello =1 ↵costruiti tramite: (a) test UMP per✓=✓0contro✓6=✓0; h [x(n),↵ 1/nx(n)) i (b) quantit` a pivotaleX(n)/✓, scegliendo quello di ampiezza minima. h (x(n),↵ 1/nx(n)) i Esercizio 4.SiaX1,...,Xnun campione casuale da una popolazione N(µ, 2). Si trovi un intervallo di confidenza per 2di livello =1 ↵nei casi (a)µnoto; (b)µincognito. Esercizio 5.Si considerino i campioni casualiX1,...,Xnda una popolazioneN(µ1, 2)eY1,...,Ymda una popolazioneN(µ2, 2). Si trovi un intervallo di confidenza per µ1 µ2di livello =1 ↵nei casi (a) noto; (b) incognito. ✓ ✓ ✓ Esercizio 6.SiaXuna singola osservazione da una beta(✓,1), f(x;✓)=✓x✓ 1I(0,1)(x),✓ > 0. (a) Si trovi la legge diY= 1 logXe si calcoli il livello di confidenza dell’intervallo Y 2,Y per✓. (b) Si mostri cheX✓` e una quantit` a pivotale e la si usi per costruire un intervallo di confidenza per✓ di livello arbitrario 2(0,1), scegliendo quello di ampiezza minima. (c) Si…