Esercizi equazione differenziali

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Equazioni differenziali del I ordine 1. Risolvere il seguente problema di Cauchy:    y′ = y2 y(0) = 1 e stabilire il pi` u ampio intervalo in cui ` e definita la soluzione. 2. Determinare l’integrale generale della seguente equazione differenziale: y′ = (1 − x)(1 − y). 3. Risolvere il seguente problema di Cauchy:    yy ′ = 1 y(0) = 2 e stabilire il pi` u ampio intervalo in cui ` e definita la soluzione. 4. Determinare l’integrale generale della seguente equazione differenziale: y′ + 1 xy = 0. 5. Risolvere il seguente problema di Cauchy:    y′ = −2xy2 y(0) = −1 e stabilire il pi` u ampio intervalo in cui ` e definita la soluzione. 6. Risolvere le seguente equazione differenziale: y′ = ay + b, a, b ∈ R \ {0}, pensandola sia come equazione a variabili separabili, sia come equazione lineare. 7. Sia T (t) la temperatura di un corpo ed E la temperatura dell’ambiente esterno. La temperatura del corpo si evolver` a in base alla legge T ′(t) = k(E − T (t)), con k costante positiva. Risolvere l’equazione differenziale con la condizione iniziale T (0) = T0. Cosa succede per tempi lunghi? 8. Risolvere il seguente problema di Cauchy: 1    y′ = (1 + y)2 x y(1) = 2 e stabilire il pi` u ampio intervalo in cui ` e definita la soluzione. 9. Risolvere il seguente problema di Cauchy:    y′ + 10y = e−10x y(0) = 0 10. Risolvere il seguente problema di Cauchy:    y′ + y = e2x y(1) = 0 11. Risolvere il seguente problema di Cauchy:    y′ + 1 x y = 2 arctan x y(1) = 3 e stabilire il pi` u ampio intervalo in cui ` e definita la soluzione. 12. Risolvere il seguente problema di Cauchy:    y′ = sin 2x 1 + cos x y(0) = 0 13. Risolvere il seguente problema di Cauchy:    y′ + 1 x y = x + 1 x y(−1) = 2 e stabilire il pi` u ampio intervallo in cui ` e definita la soluzione. 14.…