Esercizi integrali 3

Page 1

Integrali definiti 1. Calcolare i seguenti integrali definiti: 1) ∫ π 2 − π 2 cos x log(1 + sin x + |sin x|) dx 2) ∫ π 4 0 (1 + tan2 x) arctan(1 + tan x) dx 3) ∫ 4 1 √x − 1 x + 8 dx 4) ∫ π 6 0 sin 6xesin 3x dx 5) ∫ e 1 log x x √ 1 + log2 x dx 6) ∫ π 2 π 4 cos x log(sin x) sin x dx 7) ∫ e 1 (1 + log x) cos(x log x) dx 8) ∫ 1 0 x5ex2 dx 9) ∫ √ 3 2 0 √ 3 − x2 dx 10) ∫ 0 −1 √1 + x 2 + x dx 11) ∫ log 6 0 1√ex + 3 dx 12) ∫ 8 0 arctan 4√ 1 + x dx 13) ∫ ( π 3 )2 0 1 cos2 √x dx 14) ∫ π 2 − π 2 cos x 4 − |sin x|sin x dx 15) ∫ 4 0 ⏐⏐⏐ arctan(1 − x) ⏐⏐⏐ dx 1 2. Calcolare l’area dell’ellisse di equazione x2 4 + y2 9 = 1. Soluzioni. 1. 1) 1 2(3 log 3 − 2), si pone sin x = t. 2) 2 arctan 2 − π 4 − 1 2(log 5 − log 2), si pone 1 + tan x = t. 3) 2 √ 3 − π, si pone √x − 1 = t. 4) 2 3, si pone sin 3 x = t. 5) √ 2 − 1, si pone log x = t. 6) − 1 8 log2 2, si pone log(sin x) = t. 7) sin e, si pone x log x = t. 8) 1 2e − 1, si pone x2 = t. 9) 3 8( √ 3 + π), si pone x√ 3 = t. 10) 2 − π 2 , si pone √1 + x = t. 11) 1√ 3 log(2 + √ 3), si pone √ex + 3 = t. 12) Ponendo 4√1 + x = t, l’integrale dato diventa: ∫ √ 3 1 4t3 arctan t dt, inte- grando per parti si trova: t4 arctan t ⏐⏐⏐ √ 3 1 − ∫ √ 3 1 t4 1 + t2 dt = 3π− π 4 − ∫ √ 3 1 ( t2 − 1 + 1 1 + t2 ) dt = 2 3 (4π − 1) 13) Ponendo √x = t, l’integrale dato diventa: ∫ π 3 1 2t cos2 t dt, integrando per parti si trova: 2 √ 3 3 π − 2 log 2 14) Ponendo sin x = t, l’integrale dato diventa: ∫ 1 −1 1 4 − t|t|dt = ∫ 0 −1 1 4 + t2 dt+ ∫ 1 0 1 4 − t2 dt = 1 8 π + 1 4 log 3 2 15) L’integrale dato vale: ∫ 1 0 arctan(1−x) dx− ∫ 4 1 arctan(1−x) dx, integrando per parti si trova: F (x) = ∫ arctan(1 − x) dx = −(1 − x) arctan(1 − x) + 1 2 log(1 + (1 − x)2), allora l’integrale dato vale F (1) − F (0) − F (4) + F (1) = π 4 − 1 2 log 2 + 3 arctan 3 − 1 2 log 10 2. L’area…