Esercizi integrali 4

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Integrali impropri-funzioni integrali 1. Determinare una primitiva della funzione f (x) = log(sin x) tan x , e dire se converge l'integrale improprio ∫ 1 0 f (x) dx. 2. Determinare il valore dell'integrale improprio ∫  4 −  4 1 + tan2 xp1 + tan x dx. 3. Calcolare il valore dell'integrale improprio ∫ 1 0 ex log x(1 + log x) dx. 4. Stabilire se convergono i seguenti integrali impropri: 1) ∫ 1 0 log2 x x dx. 2) ∫ 0 −∞ xex dx. 3) ∫ 1 0 1px log x dx. 4) ∫ 2 −1 x + 2 3p x2 dx. 5) ∫ 1 0 sin xp x3 dx. 5. Stabilire per quali valori del parametro reale  convergono i seguenti inte- grali impropri: 1) ∫ 1 0 (1 + x)− log x dx,  > 0. 2) ∫ 1 0 e √x 1 (1 cos x) dx,  > 0. 3) ∫  1 1 (x 3)(x + 5 2 ) 3 2 dx,  > 1. 6. Sia F (x) = ∫ x 0 arctan p t dt, scrivere l'equazione della retta tangente al gra co di F nel punto di ascissa 3. 1 7. Sia F (x) = ∫ 3x 0 log(arctan t) dt, calcolare F ′( 1 3 ). 8. Sia F (x) = ∫ x 0 (t 1) arctan t dt, calcolare lim x→+∞ F (x) x2 , dedurne l'ordine di in nito. 9. Studiare le seguenti funzioni integrali, e tracciarne un gra co approssima- tivo: 1) F (x) = ∫ x 0 t arctan(t 1) dt. 2) F (x) = ∫ x 0 3p t 1et dt. Soluzioni. 1. ∫ log(sin x) tan x dx = ∫ log t t dt, dunque una primitiva di f (x)  e la funzione F (x) = 1 2 log2(sin x); ∫ 1 0 f (x) dx = lim a→0 ∫ 1 a f (x) dx = lim a→0 1 2 log2(sin x) 1 a = 1 2. Si ha che: lim a→−  4 ∫  4 a 1 + tan2 xp1 + tan x dx = lim a→−  4 2 p 1 + tan x  4 a = 2 p 2 3. Si ha che: lim a→0 ∫ 1 a ex log x(1 + log x) dx = lim a→0 ex log x 1 a = 0 4. 1) ∫ 1 0 log2 x x dx = lim k→0+ ∫ 1 k log2 x x dx = lim k→0+ 1 3 ln3 k = +1. 2) Per x che tende a 1 la funzione xex (di segno costante in un intorno di 1)  e un in nitesimo di ordine superiore al secondo, infatti xex : 1 x2 = x3ex ! 0, dunque l'integrale converge. 3) Per x che…