Esercizi limiti 1

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Limiti 1 1. Verificare con la definizione di limite: 1) lim x→3 log3 x = 1 (R. δ = min{31+ϵ − 3, 3 − 31−ϵ}= 3 − 31−ϵ(*)) 2) lim x→+∞ √ x4 − 1 = + ∞ (R. K = 4√ M 2 + 1 (*)) 3) lim x→1− 1 log x = −∞ (R. δ = 1 − e− 1 M (*)) 4) lim x→−∞ x − 4 x2 = 0 (R. K = −1 − √1 + 16ϵ 2ϵ (*)) (*) ∀ϵ > 0, se δ = 3 − 31−ϵ si ha che |log3 x − 1|< ϵ per ogni x ∈ (3 − δ, 3 + δ) (*) ∀M > 0, se K = 4√ M 2 + 4 si ha che √ x4 − 1 > M per ogni x > K (*) ∀M > 0, se δ = 1 − e− 1 M si ha che 1 log x < −M per ogni x ∈ (1 − δ, 1) (*) ∀ϵ > 0, se K = 1 + √ 1 + 16ϵ2 2 si ha che ⏐⏐⏐⏐ x − 4 x2 ⏐⏐⏐⏐ < ϵ per ogni x < −K; N. B. ⏐⏐⏐⏐ x − 4 x2 ⏐⏐⏐⏐ = 4 − x x2 per x → −∞ 2. Calcolare i seguenti limiti (forme di indecisione di tipo 0 0 ): 1) lim x→2 x3 − 8 x − 2 (R. 12) 2) lim x→0 √1 + x − √1 − x x (R. 1) 3) lim x→1 xn − 1 x − 1 (R. n) 5) lim x→1 2 − x − √x 1 − √x (R. 3, si pone t = √x) 6) lim x→1 2x2 − 3x + 1 x − 1 (R. 1) 7) lim x→0+ x − 1 x2 − 3x (R. + ∞) 3. Utilizzando i limiti notevoli, calcolare i seguenti limiti: 1) lim x→0 sin x + x2 2 sin x − 4x (R. − 1 2 ) 2) lim x→0 sin x x + 3√x (R. 0) 3) lim x→1 log x (x − 1)9 (R. + ∞) 1 4) lim x→0 log(1 + 3x2) 1 − cos 2x (R. 3 2 ) 5) lim x→0 etan2 x − 1 1 − cos x (R. 2) 6) lim x→+∞ x2(e 2 x − 1) (R. + ∞) 7) lim x→+∞ x ln ( x + 5 x − 1 ) (R. 6) 8) lim x→1 ln2 x (2x − 2)2 (R. 1 4 ) 9) lim x→0 ln(x + 2) − ln 2 x (R. 1 2 ) 10) lim x→ π 2 tan x ln(1 + cos x) (R. 1) 11) lim x→1 x 2 x−1 (R. e2) 12) lim x→1+ ln(1 + √x − 1)√ x2 − 1 (R. 1√ 2 ) 13) lim x→0 ln(1 + x) + ln(1 − x) x2 (R. −1) 14) limx→π sin x π − x (R. 1) 15) lim x→0 log(tan x) − log(eπx − 1) (R. − log π) 16) lim x→0 √1 + x − 3√1 + 5x x (R. − 7 6 ) 17) limx→e x − e 1 − log x (R. −e, sostituire log x con log( e x e ) = 1 + log x e ...) 18) lim x→1 x 1 x2−1 (R. √e) 4. Utilizzando il limite notevole limx→∞ ( 1 + 1 x )x…