Esercizi su autovalori autovettori matrici diagonalizzabili e simili

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Esercizio 1 Mostrare che i 3 vettori v= tg5=29 1 0 −1 tg5=55 , u=tg5=29 1 2 1 tg5=55 , w=tg5=29 −2 3 0 tg5=55 formano una base B di R 3 e scrivere la matrice di passaggio dalla base B alla base canonica. Soluzione Il determinante della matrice [v|u|w] è -10, pertanto i tre vettori sono linearmente indipendenti, quindi L(v,u,w) è un sottospazio di R 3 di dimensione 3 e pertanto coincide con R 3, dunque i tre vettori sono una base B di R 3. La matrice M E;B (I 3) di passaggio dalla base canonica E alla base B è formata dall’accostamento dei vettori della base B rispetto alla base E, ovvero è tg5=29 1 1 −2 0 2 3 −1 1 0 tg5=55, quindi la matrice di passaggio dalla base B alla base E è l’inversa della matrice precedente, ovvero MB;E (I 3)= tg17=5 tg17=2 tg17=2 tg17=2 tg17=1 tg2871 tg2869tg2868 tg2869 tg2875 − tg287. tg2869tg2868 tg2871 tg2869tg2868 tg2869 tg2875 tg2871 tg2869tg2868 − tg2869 tg2875 tg2869 tg2875 − tg2869 tg2875 tg17=6 tg17=. tg17=. tg17=. tg17== . Si poteva direttamente calcolare ME;B (I 3) cercando le componenti dei vettori della case canonica rispetto ai vettori della base B. La generica combinazione lineare dei vettori della base B è tg=686 a+b-2c 2b+3c -a+b tg=687, quindi per ottenere e1 deve essere a=b, b=- tg2871 tg287s c, c= − tg2869 tg2875 e pertanto e1|B= tg17=5 tg17=2 tg17=2 tg17=2 tg17=1 tg2871 tg2869tg2868 tg2871 tg2869tg2868 − tg2869 tg2875 tg17=6 tg17=. tg17=. tg17=. tg17== e analogamente si trovano e2|B e e3|B. Esercizio 2 Sia f : R 4→ R4 la seguente applicazione lineare f([x, y, z, t] T )=[x+y-2z+t, x-y+z+t, x-2z, y+t] T . Dimostrare che f ammette λ=0 come autovalore. Trovare gli autovettori di f associati all’autovalore 0. Soluzione La matrice associata ad f è A= tg=686 1 1 1 −1 −2 1 1 1 1 0 0 1 −2 0 0 1 tg=687 ed ha determinante nullo in…