esercizi su derivazione

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Derivate 1. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: 1) f (x) = √ 1 + e−√x  R. f ′(x) = − e−√x 4 √ x(1 + e−√x)   2) f (x) = arctan √ 1 − cos x 1 + cos x ( R.f ′(x) = 1 2 sin x |sin x| ) 3) f (x) = cos x sin2 x − log tan x 2 ( R.f ′(x) = −2 sin3 x ) 4) f (x) = (sin x)x (R. f ′(x) = (sin x)x[log(sin x) + x cos x sin x ]) 5) f (x) = xx log x ( R.f ′(x) = xx log x(log2 x + 2 log x) ) 2. Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico della funzione f (x) = cos(log x) ne punto di ascissa x = e π 2 . (R. y = −e− π 2 (x − e π 2 )) 3. Sia f (x) = x2 se x ≤ 1, f (x) = ax + b se x > 1. Determinare a e b in modo che f sia continua e derivabile per ogni x. Tracciare il grafico. (R. a = 2, b = −1) 4. Data la funzione f (x) = x + 1 se |x| ≤1, f (x) = x2 − 1 se |x|> 1. Tracciare il grafico e determinare l’insieme T di definizione, l’insieme C di continuit` a, l’insieme D di derivabilit` a. (R. T =R, C =R \ {1}, D =R \ {± 1}) 5. Stabilire se la funzione f (x) = x|x − 1|` e derivabile inx = 1. (R. no, x = 0 ` e un punto angoloso) 6. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni, dove esistono. Studiare i punti di non derivabilit` a stabilendo se si tratta di punti angolosi, cuspidi, punti a tangente verticale. Tracciare il grafico locale in un intorno dei punti di non derivabilit` a. 1) f (x) = |x2 + 3x − 4| (R. x = −4 e x = 1 sono punti angolosi) 2) f (x) = 3√ 2x2 + x − 1 (R. x = −1 e x = 1 2 sono punti a tangente verticale) 3) f (x) = log 2(1 + 3√x) (R. x = 0 ` e una cuspide) 4) f (x) = ex 3 √ x + 2 x − 3 (R. x = −2 ` e un punto a tangente verticale) 5) f (x) = arcsin( 3√x + 1) (R. x = −2, −1, 0 sono punti a tangente verticale) 1 7. Sia f (x) = e− 1 x2 se x > 0, f (x) = x2 se x ≤ 0. Calcolare f ′(0) in base alla definizione. Calcolare poi f ′(x) per x ̸= 0 e stabilire se la…