Esercizi su sottospazi e applicazioni lineari

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Soluzione esercizi proposti su sottosapzi e applicazioni lineari Esercizio 1 Si consideri il sistema lineare Ax=b dove la matrice completa del sistema è [A|b]= /g≠8≠∈ 1 1 1 a 1 1 1 a 1 /g≠529 b 1 1 /g≠881 con a, b parametri reali. (1) Stabilire se e quante soluzioni ammette il sistema, al variare di a, b. (2) Determinare se esistono valori di a, b per i quali il sistema ammette X = (−4, −4, 5) T tra le soluzioni. (3) Posto a = 1 e b = 0, ed interpretando [A|b] come matrice rappresentativa, rispetto alle basi canoniche, di un’ applicazione lineare f : R 4 → R 3 , determinare due matrici C, di tipo 3×2, e D, di tipo 2×4, che verificano l’ uguaglianza CD = [A|b]. Le matrici C e D esistono anche se poniamo a = b = 0? Traccia di soluzione Punto (1). Effettuiamo le operazioni elementari di aggiungere alla seconda e alla terza riga della matrice [A|b] la prima moltiplicata per -1 ed otteniamo la matrice /g85v8 1 1 1 a-1 0 0 0 a-1 0 /g8∈1v b 1-b 1-b /g85v7. Se a-1 ≠ 0 , le matrici A ed [A|b] risultano entrambe di rango 3. Se a = 1; la matrice A è ridotta per righe, ed ha rango 1; mentre la matrice [A|b] risulta avere rango 2 se 1-b ≠ 0, mentre risulta avere rango 1 se 1-b = 0. In conclusione, rk(A)=rk([A|b])=3 se a≠1 ed in tal caso, per il teorema di Rouché Capelli, il sistema ha una ed una sola soluzione. Se a=1 allora: se b=1 rk(A)=rk([A|b])=1 ed in tal caso, per il teorema di Rouché Capelli, il sistema ammette ∞2 soluzioni, se invece b≠1 allora rk(A)=1 e rk([A|b])=2 per cui il sistema è impossibile. Punto (2). Sostituendo alle incognite i valori proposti, otteniamo le seguenti equazioni in a e b : /g≠822 -3=b -4a+1=1 -4a+1=1 ed è evidente che il sistema ha l' unica soluzione a=0, b=-3. Punto (3). Per a=1 e b=0 la matrice A’=[A|b] diventa (eliminando il separatore) /g≠829 1 1…