Esercizi sviluppo Taylor 2

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Formula di Taylor 1. Nei seguenti passaggi c’` e un errore, quale? Per x → 0 si ha che log(cos x + x2 2 ) ∼ log(1 + x2 2 ) ∼ x2 2 (R. log(1 + x2 2 ) ∼ x2 2 ma log(cos x + x2 2 ) non ` e asintotico a log(1 + x2 2 ), l’asintotico non si pu` o usare nelle somme e all’interno di un logaritmo!!) 2. Verificare che, per x → 0, f (x) = log(cos x + x2 2 ) ∼ x4 4! (R. f (x) = log [ 1 + (cos x + x2 2 − 1) ] ∼x→0 cos x+ x2 2 −1 = 1 − x2 2 + x4 4! +o(x4) +x2 2 −1 ∼ x4 4! ) 3. Determinare l’ordine di infinitesimo per x → 0 delle seguenti funzioni: 1) f (x) = sin x − x (R. 3, f (x) ∼ − 1 6 x3) 2) f (x) = sin 2 x − x2 (R. 4, f (x) ∼ − 1 3x4) 3) f (x) = x log(1 − x) + ex2 − 1 (R. 3, f (x) ∼ − 1 2x3) 4) f (x) = cos 2 √x − e−2x (R. 2, f (x) ∼ − 4 3 x2) 5) f (x) = esin x − cos(2√x) (R. 1, f (x) ∼ 3x) 4. Calcolare i seguenti limiti: 1) lim x→+∞ x [ log ( 1 − 1√x ) + 1√x ] (R. − 1 2 , si pone t = 1 x ) 2) lim x→0 1 − cos x + log cos x x4 (R. − 1 8 ) 3) lim x→0 ( 1 x tan x − 1 x2 ) (R. − 1 3 ) 4) lim x→0 1 x2 (sin x x − x sin x ) (R. − 1 3 ) 1 5) lim x→0+ x − sin2 √x − sin2 x x2 (R. − 2 3 ) 6) lim x→0 x2 cos x + 1 − ex2 x4 (R. −1) 7) lim x→0 x sin x + log(1 − x2) x2(2x + x2)2 (R. − 1 6 ) 5. Verificare che, per x → 0, vale lo sviluppo: 1 1 + ex = 1 2 − x 4 + o(x2) (R. 1 1 + ex − 1 2− x 4 = 4 + (1 + ex)(−2 + x) 4(1 + ex) = 4 + (2 + x + x2 2 + o(x2))(−2 + x) 4(1 + ex) ∼ o(x2) 8 ) 6. Calcolare lo sviluppo di MacLaurin del quarto ordine di f (x) = log(cos x) (R. log(cos x) = log ( 1 − x2 2 + x4 4! + o(x4) ) = [ − x2 2 + x4 4! + o(x4) ] − 1 2 [ − x2 2 + x4 4! + o(x4) ]2 + o   [ − x2 2 + x4 4! + o(x4) ]2  = − x2 2 − x4 12 + o(x4)) 7. Calcolare lo sviluppo di MacLaurin del quarto ordine di f (x) = esin x (R. esin x = ex− x3 3! +o(x4) = 1+ [ x − x3 3! + o(x4) ] +1 2 [ x − x3 3! + o(x4) ]2 + 1 3! [ x…