Exam simulation

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T utorato di Analisi 1 con Geometria - Ing. Gestionale Autovalutazione su: Insiemi numerici (tempo: 45 min) Cognome: Nome: Matricola: Non scrivere nel riquadro sottostante Esercizio 1. Dare la definizione di estremo superiore ed inferiore per un s ottoinsieme di R, e dimostrare l’ esistenza dell’ estremo inferiore per un ins ieme X ⊆ R limitato inferiormente. Dare quindi un esempio di calcolo dell’ estr emo inferiore per un insieme imitato inferiormente, riportando tutti i calcoli necessa ri. Esercizio 2. Enunciare e dimostrare il principio d’ induzione. Esercizio 3. Dare la definizione di funzione monotona decrescente e forni re un esempio di una tale funzione, spiegandolo dettagliatamente. Esercizio 4. Verificare che l’ insieme X = { n ∈ N | (n + 2) 2 < (n − 1)3} soddisfa la seconda richiesta del principio d’ induzione. D eterminare quindi minimo e massimo di N \X. Esercizio 5. Calcolare estremo inferiore e superiore di X ∩ Y con X = { x ∈ R | log2(arctan x) < log(arctan x) } e Y = {x ∈ R | arcsin(cos(3x)) ≥ 0} . Ripetere l’ esercizio con X = { x ∈ Q | log2(arctan x) < log(arctan x) } e Y = {x ∈ R \Q | arcsin(cos(3x)) ≥ 0} . 1 2 T utorato di Analisi 1 con Geometria - Ing. Gestionale Autovalutazione su: F unzioni elementari e trasformazioni di grafici (tempo: 45 min) Cognome: Nome: Matricola: Non scrivere nel riquadro sottostante Esercizio 6. Dare la definizione di funzione iniettiva. Dimostrare poi ch e “ f : A → B ` e iniettiva se e solo se esiste g : B → A tale che f ◦ g = id B”. Esercizio 7. Data la funzione f (x) = ax, 0 < a < 1, stabilire dove essa ` e invertibile, e definire la sua funzione inversa. Elencare poi le regole di ca lcolo che f (x) verifica. Esercizio 8. Risolvere la disequazione arcsin(log(x)) ≤ arccos(log(x)). Esercizio 9. Dopo averne calcolato il…