Example of first partial exam

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Esame di Geometria e Algebra Lineare Politecnico di Milano – Ingegneria informatica – Prima prova in iti nere – A.A. 2017/18 Cognome: Nome: Matricola: 1. Dato il parametro reale a, consideriamo il sistema lineare    x + y + az = 1 − x + y + (a − 1)z = 1 − a 2x + ay + (a + 2)z = a . i. Discutere il numero delle soluzioni del sistema in funzione d i a. ii. Trovare gli eventuali valori di a per cui le tre equazioni definiscono in R3 tre piani appartenenti al medesimo fascio proprio. In tal caso, scrivere una rappresentazione parametrica della retta a sostegno del fascio. iii. Per a = 0 calcolare la soluzione del sistema. 2. In R4 consideriamo i seguenti sottospazi: U = {(x, y, z, w) ∈ R4 |x + y + z = 0} e V = L ((1, 1, 0, 0) , (2, − 1, 0, 1) , (4, 1, 0, 1)) . i. Determinare dimensioni e basi di U, V ed una rappresentazione algebrica di V. ii. Determinare dimensioni e basi di U ∩ V e U + V. iii. Completare la base di U ∩ V ad una base di R4. 3. Consideriamo la matrice A =   1 1 − 1 0 1 0 0 1 0   . i. Determinare una base B = {b1, b2, b3} di R3 costituita da autovettori di A. ii. Scrivere la matrice M che rappresenta l’applicazione fA(x) = A x rispetto alla base B. iii. Trovare una base del nucleo ed una dell’immagine di fA. Soluzioni 1. i. Studiamo il sistema lineare: [A|B] =   1 1 a 1 − 1 1 a − 1 1 − a 2 a a + 2 a   →   1 1 a 1 0 2 2 a − 1 2 − a 0 a − 2 − a + 2 a − 2   . Se a = 2 la matrice ` e gi` a ridotta a scala:   1 1 2 1 0 2 3 0 0 0 0 0   . Se a ̸= 2, possiamo invece semplificare l’ultima riga ed ottenere   1 1 a 1 0 2 2 a − 1 2 − a 0 1 − 1 1   →   1 1 a 1 0 1 − 1 1 0 0 2 a + 1 − a   . La classificazione delle soluzioni del sistema ` e quindi: • a = 2 : vale r([A|B]) = r(A) = 2 = 3 − 1 e pertanto esistono infinite soluzioni dipendenti da un…