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Formulario – Trasduttori di Spostamento Relativo Fonte: Dispensa di Misure Meccaniche e Termiche, Prof. G. Moschioni, Politecnico di Milano – Cap. 4 (sezioni 4.1–4.3). Definizioni preliminari • Spostamento relativo: variazione di distanza di due corpi A e B lungo un asse (𝑠 = |𝑥0 − 𝑥𝑓 |, con 𝑥0 distanza iniziale e 𝑥𝑓 distanza finale). • Trasduttori a contatto: vengono a contatto con entrambi i sistemi (A e B); hanno una sezione fissa (F, solidale a B) e una mobile (M, solidale ad A, tramite un tasta- tore). • Trasduttori a non contatto: vengono a contatto con uno solo dei due sistemi. • Trasduzione: conversione di una grandezza in ingresso (segnale d’entrata) in una grandezza in uscita (indicazione) tramite una funzione di trasferimento; l’insieme dei sistemi che la realizza è il trasduttore. • Sensibilità: def 𝑂𝑈 𝑇 𝑆 = 𝐼𝑁 Legame tra grandezza in uscita e grandezza in ingresso. • Risoluzione: minima variazione del misurando che lo strumento è in grado di ril- evare. • Metodo per deflessione / per azzeramento: il primo legge la deflessione prodotta dal misurando; il secondo porta a zero una variazione (es. di corrente) e misura lo sforzo necessario a ottenerlo. PARTE I: Trasduttori a contatto 1. Potenziometro resistivo – Principio di misura • Formule: 𝐸0 = 𝑅𝑃 𝑂𝑇 ⋅ 𝑖 𝑅𝑠 𝑠 𝑠 = ⟹ 𝑅𝑠 = 𝑅𝑃 𝑂𝑇 ⋅ 𝑅𝑃 𝑂𝑇 𝐿 𝐿 𝑉𝑠 𝐸0 𝑉𝑠 = 𝑅𝑠 ⋅ 𝑖 ⟹ 𝑖 = 𝐸0 = 𝑅𝑃 𝑂𝑇 ⋅ 𝑖 ⟹ 𝑖 = 𝑅𝑠 𝑅𝑃 𝑂𝑇 𝐸0 𝑉 𝐸0 𝑠 𝐸0 𝑠 = 𝑠 ⟹ 𝑉𝑠 = 𝑅𝑠 ⋅ = (𝑅𝑃 𝑂𝑇 ⋅ ) ⋅ = 𝐸0 ⋅ 𝑅𝑃 𝑂𝑇 𝑅𝑠 𝑅𝑃 𝑂𝑇 𝐿 𝑅𝑃 𝑂𝑇 𝐿 𝑉𝑠 ⋅ 𝐿 𝑠= 𝐸0 • A cosa serve: Converte lo spostamento del tastatore (che scorre sulle spire eq- uispaziate di un resistore) in una variazione di resistenza 𝑅𝑠 , letta come caduta di tensione 𝑉𝑠 (partitore di tensione a corrente 𝑖 costante). 1
• Valori caratteristici: – Portata: sonda a molla ±2.5 ÷ 7.5 mm; sonda libera ±1.25 ÷ 250 mm – Sensibilità (come riportato nella dispensa): ac-ac 3 mV/mm ÷ 250 V/mm; dc-dc 0.04 ÷ 8 V/mm (l’alimentazione in continua viene convertita internamente in alter- nata) – Linearità (fondo scala): < ±0.25 % • Configurazioni di montaggio: – A (tastatore libero): effetto di reazione basso; saltellamento se l’accelerazione dell’elemento vibrante supera quella di gravità; frequenza massima 16 Hz. – B (con molla): effetto di reazione dovuto alla molla; saltellamento dipendente da massa della sonda, rigidezza della molla e precarico; frequenza massima 70 Hz. – C (tastatore solidale): nessun saltellamento alle alte frequenze, ma sono impediti i moti relativi perpendicolari all’asse di misura. 5. Problematiche dei trasduttori a contatto: effetto di carico • Formule: 𝐸0 𝑖= 𝑅 Δ𝑉𝑟 = 𝑅 ⋅ 𝑖𝑡𝑜𝑡 Δ𝑉𝑒 = 𝑅 ⋅ (𝑖𝑡𝑜𝑡 − 𝑖𝑉 ) 𝑖𝑡𝑜𝑡 > 𝑖𝑡𝑜𝑡 − 𝑖𝑉 ⟹ Δ𝑉𝑟 > Δ𝑉𝑒 • A cosa serve: Mostra che lo strumento di misura altera il fenomeno misurato: il voltmetro assorbe la corrente 𝑖𝑉 e la caduta di tensione misurata (Δ𝑉𝑒 , effettiva) risulta inferiore a quella reale (Δ𝑉𝑟 ). • Misurando: Caduta di tensione ai capi della resistenza 𝑅. • Sistema di misura coinvolto: Circuito con generatore 𝐸0 , resistenza 𝑅 e volt- metro in parallelo (𝑖𝑉 corrente nel voltmetro, 𝑖𝑡𝑜𝑡 corrente totale del generatore). • Teorie derivanti: Prima legge di Ohm; effetto di carico. Per avere Δ𝑉𝑟 = Δ𝑉𝑒 serve 𝑖𝑉 = 0, cioè impedenza dello strumento tendente a infinito. Nel potenziometro la resistenza del voltmetro va scelta abbastanza grande da non alterare il circuito primario, ma non così grande da impedire il passaggio di corrente. • Spostamenti lungo assi non consentiti: un trasduttore…
Formulario Misure Meccaniche, Fluidodinamiche e Sismiche PARTE I: Misure di Deformazione, Sforzo e Forza 1. Definizione di Deformazione • Formula: Δ𝐿 𝐿 − 𝐿0 𝜖= = 𝐿0 𝐿0 • A cosa serve: Descrive la variazione relativa di lunghezza di un elemento strut- turale sottoposto a sollecitazione rispetto alla sua lunghezza iniziale. • Misurando: Deformazione adimensionale (𝜖). • Sistema di misura coinvolto: Provino/componente meccanico sotto carico. • Teorie derivanti: Fondamento della meccanica dei materiali e dell’analisi speri- mentale delle tensioni. 2. Sforzo Assiale e Legge di Hooke • Formule: 𝐹 𝜎= 𝐴 𝜎 =𝐸⋅𝜖 • A cosa serve: Calcola lo stato di tensione interna (𝜎) di un materiale soggetto a una forza monodirezionale ed esprime la proporzionalità diretta tra sforzo e defor- mazione in campo elastico. • Misurando: Sforzo normale (𝜎). • Sistema di misura coinvolto: Componente meccanico caricato assialmente. • Teorie derivanti: Teoria dell’elasticità lineare. 𝐸 rappresenta il modulo di Young del materiale. 3. Variazione di Resistenza Estensimetrica (II Legge di Ohm e Poisson) • Formule: 𝐿 𝑅=𝜌 𝐴 d𝑅 d𝜌 d𝐿 d𝐴 = + − 𝑅 𝜌 𝐿 𝐴 d𝐷 d𝐿 𝜖𝑡 = −𝜈𝜖𝑎 ⟹ = −𝜈 𝐷 𝐿 d𝑅 d𝜌 = + 𝜖𝑎 (1 + 2𝜈) 𝑅 𝜌 1
• A cosa serve: Descrive la conservazione dell’energia totale del fluido lungo una linea di flusso per fluidi incomprimibili, inviscidi ed in regime stazionario. • Misurando: Carico idraulico totale (𝐻). • Sistema di misura coinvolto: Condotti chiusi e flussi liberi. • Teorie derivanti: Conservazione dell’energia meccanica (convertibilità tra pres- sione elastica, energia cinetica e quota potenziale). 12. Equazione di Continuità • Formula: 3 𝑄 = 𝑣 ⋅ 𝐴 = costante [m /s] • A cosa serve: Assicura la conservazione della massa lungo un condotto a sezione variabile per un fluido incomprimibile. • Misurando: Portata volumetrica (𝑄). • Sistema di misura coinvolto: Tubazioni e condotti di trasporto fluido. • Teorie derivanti: Principio di conservazione della massa in assenza di accumulo. 13. Tubo di Venturi (Venturimetro) • Formule: 𝑣 𝐴 =𝑣 𝐴 { 𝑃11 1 𝑣21 2 𝑃22 𝑣22 𝛾 + 2𝑔 = 𝛾 + 2𝑔 𝜌 𝐴21 𝑃1 − 𝑃2 = ( − 1) 𝑣12 2 𝐴22 Δ𝑃 = 𝑘 ⋅ 𝑣12 ⟹ Δ𝑉 = 𝐻̄ ⋅ 𝑣12 • A cosa serve: Determina la velocità di scorrimento del fluido 𝑣1 e la portata 𝑄 misurando la differenza di pressione statica causata da un restringimento graduale della sezione. • Misurando: Differenza di pressione (Δ𝑃 = 𝑃1 − 𝑃2 ). • Sistema di misura coinvolto: Tubo di Venturi accoppiato con trasduttore di pres- sione differenziale. • Teorie derivanti: Relazione quadratica non lineare tra velocità e pressione dif- ferenziale; valutazione dell’effetto di carico (perdite di carico concentrate). 14. Tubo di Pitot • Formule: 𝑃1 Presa totale (Ristagno): 𝑣1 = 0 ⟹ 𝐻 = +𝑧 𝛾 5
22. Accelerometri (Principio Generale e Sensibilità) • Formule: 𝑦 = 𝐴 sin(𝜔𝑡) ⟹ 𝑦 ̈ = −𝜔2 𝐴 sin(𝜔𝑡) = −𝜔2 𝑦 𝑥 1 1 ∣ ∣= 2 𝑦̈ 𝜔0 2 2 2 √(1 − ( 𝜔 ) ) + 4𝜉 2 ( 𝜔 ) 𝜔 0 𝜔 0 𝑥 1 Sensibilità Statica: 𝑆 = ∣ ∣ = 2 (per 𝜔 ≪ 𝜔0 ) 𝑦̈ 𝜔0 • A cosa serve: Misura l’accelerazione assoluta 𝑦 ̈ di una struttura sfruttando il com- portamento quasi-statico della massa per frequenze inferiori alla frequenza propria del sensore. • Misurando: Spostamento relativo della massa (𝑥). • Sistema di misura coinvolto: Accelerometro (massa piccolissima 𝑚, elevata rigidezza 𝑘, pulsazione propria 𝜔0 molto alta). • Teorie derivanti: Adattamento cinematico dei sistemi ad 1 g.d.l.; compromesso fondamentale tra ampiezza della banda passante (𝜔0 ) e sensibilità ( 𝜔12 ). 0 23. Tipologie Specifiche di Accelerometri • Formule: 𝐾 Filtro di Montaggio Meccanico: 𝜔𝑎 = √ ≠ 𝜔0 𝑀 Piezoelettrico: 𝑄 = ℎ ⋅ 𝐹 = 𝑘 ⋅ 𝑥 ∝ 𝑦 ̈ Capacitivo/Ultrasuoni/Null-Balance: 𝐼 ∝ 𝐹inerzia ∝ 𝑦 ̈ • A cosa serve: Trasduce l’accelerazione in carica elettrica (𝑄), variazione di ca- pacità (Δ𝐶), deformazione estensimentrica (𝜖) o corrente di riposizionamento ad azzeramento (𝐼). • Misurando: Carica generata 𝑄, corrente 𝐼, o variazione di capacità/tensione. • Sistema di misura coinvolto: – Estensimetrici: Laminetta a flessione. – Piezoelettrici: Cristallo di quarzo tra masse polarizzate (comportamento da filtro passa-alto elettrico). – Capacitivi: Armature variabili con smorzamento ad aria. – Null Balance: Sensore capacitivo ad azzeramento attivo di corrente. • Teorie derivanti: Effetto piezoelettrico diretto; filtrazione meccanica dovuta all’interfaccia di montaggio (cera d’api, viti secondo UNI ISO 5348). 9
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