Formulario quadriche

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Quadriche Rappresentazione di una quadrica 1. Equazione cartesiana: Q : F (x, y, z) = 0 dove F (x, y, z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 . 2. Equazione matriciale (prima forma): Q : xtAx = 0 dove A =   a11 a12 a13 a14 a12 a22 a23 a24 a13 a23 a33 a34 a14 a24 a34 a44   e x =   x y z 1   . 3. Equazione matriciale (seconda forma): Q : xtBx + 2atx + b = 0 dove B =   a11 a12 a13 a12 a22 a23 a13 a23 a33   , a =   a14 a24 a34   , x =   x y z   e b = a44. Invarianti ortogonali Gli invarianti ortogonali sono invarianti per rototraslazioni e sono: I4 = |A|= ⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐ a11 a12 a13 a14 a12 a22 a23 a24 a13 a23 a33 a34 a14 a24 a34 a44 ⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐ (invariante quartico) I3 = |B|= ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ a11 a12 a13 a12 a22 a23 a13 a23 a33 ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ (invariante cubico) I2 = ⏐⏐⏐⏐ a11 a12 a12 a22 ⏐⏐⏐⏐ + ⏐⏐⏐⏐ a11 a13 a13 a33 ⏐⏐⏐⏐ + ⏐⏐⏐⏐ a22 a23 a23 a33 ⏐⏐⏐⏐ (invariante quadratico) I1 = trB = a11 + a22 + a33 (invariante lineare) Polinomio caratteristico di B : |λI − B|= λ3 − I1λ2 + I2λ − I3. 1. Q ` e non specializzata se e solo se I4 ̸= 0 2. Q ` e a centro se e solo se I3 ̸= 0 3. Q ` e a punti iperbolici se e solo se I4 > 0 4. Q ` e a punti ellittici se e solo se I4 < 0 Se l’equazione di Q viene moltiplicata per uno scalare non nullo ρ i nuovi invarianti ortogonali variano nel modo seguente: I ′ 4 = ρ4I4 , I ′ 3 = ρ3I3 , I ′ 2 = ρ2I2 , I ′ 1 = ρI1 . Forma canonica 1. Quadriche non specializzate (irriducibili): (a) a centro: x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 ellissoide reale x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = −1 ellissoide immaginario x2 a2 + y2 b2 − z2 c2 = 1 iperboloide iperbolico (a una falda) x2 a2 − y2 b2 − z2 c2 = 1 iperboloide ellittico (a due falde) (b) non a centro: x2 a2 + y2 b2 = 2pz p ̸= 0 paraboloide ellittico x2 a2 − y2 b2 = 2pz p ̸= 0…