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DINAMICA RELATIVA Cinematica relativa: ቐ 𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 ∶ 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑖 𝑃 𝑣௥= 𝑥̇𝑖 + 𝑦̇𝑗 + 𝑧̇𝑘 ∶ 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑡à 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑖 𝑃 𝑎௥= 𝑥̈𝑖 + 𝑦̈𝑗 + 𝑧̈𝑘 ∶ 𝑎𝑐𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑖 𝑃 Teorema di Galileo: 𝑣௔= 𝑣௥+ 𝑣௧ 𝑑𝑜𝑣𝑒 𝑣௧= 𝑣ொ+ 𝜔 ∧ (𝑃 − 𝑄) Dimostrazione: (𝑃 − 𝑂) = (𝑃 − 𝑄) + (𝑄 − 𝑂) derivo: ௗ ௗ௧(𝑃 − 𝑂)ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ ௩ೌ = ௗ ௗ௧(𝑃 − 𝑄) + ௗ ௗ௧(𝑄 − 𝑂)ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ ௩ೂ 𝑑𝑜𝑣𝑒 ௗ ௗ௧(𝑃 − 𝑄) = ௗ ௗ௧(𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘) = 𝑥̇𝑖 + 𝑦̇𝑗 + 𝑧̇𝑘ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ ௩ೝ + 𝑥 ௗ ௗ௧𝑖 + 𝑦 ௗ ௗ௧𝑗 + 𝑧 ௗ ௗ௧𝑘 utilizzando le formule di Poisson: ⎩⎪⎨ ⎪⎧ ௗ ௗ௧𝑖 = 𝜔 ∧ 𝑖 ௗ ௗ௧𝑗 = 𝜔 ∧ 𝑗 ௗ ௗ௧𝑘 = 𝜔 ∧ 𝑘 ricaviamo che: ௗ ௗ௧(𝑃 − 𝑄) = 𝑣௥+ 𝜔 ∧ (𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘)ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ (௉ିொ) = 𝑣௥+ 𝜔 ∧ (𝑃 − 𝑄) dunque la nostra velocità assoluta risulta: 𝑣ொ = 𝑣௥+ 𝜔 ∧ (𝑃 − 𝑄)ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ ௩೟ = 𝑣௥+ 𝑣௧ Teorema di Coriolis: 𝑎௔= 𝑎௥+ 𝑎௧+ 𝑎஼ 𝑑𝑜𝑣𝑒 ቊ𝑎௧= 𝑎ொ+ 𝜔̇ ∧ (𝑃 − 𝑄) + 𝜔 ∧ ൫𝜔 ∧ (𝑃 − 𝑄)൯ 𝑎஼= 2𝜔 ∧ 𝑣௥ Dimostrazione: (𝑃 − 𝑂) = (𝑃 − 𝑄) + (𝑄 − 𝑂) derivando due volte rispetto al tempo: ௗమ ௗ௧మ(𝑃 − 𝑂)ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ ௔ೌ = ௗమ ௗ௧మ(𝑃 − 𝑄) + ௗమ ௗ௧మ(𝑄 − 𝑂)ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ ௔ೂ ௗ ௗ௧(𝑃 − 𝑄) = 𝑣௥+ 𝜔 ∧ (𝑃 − 𝑄) → ௗమ ௗ௧మ(𝑃 − 𝑄) = (𝑎௥+ 𝜔 ∧ 𝑣௥) + ቀ𝜔̇ ∧ (𝑃 − 𝑄) + 𝜔 ∧ ൫𝑣௥+ 𝜔 ∧ (𝑃 − 𝑄)൯ቁ→ → 𝑎௔= 𝑎ொ+ (𝑎௥+ 𝜔 ∧ 𝑣௥) + 𝜔̇ ∧ (𝑃 − 𝑄) + 𝜔 ∧ 𝑣௥+ 𝜔 ∧ ൫𝜔 ∧ (𝑃 − 𝑄)൯= = 𝑎௥+ 𝑎ொ+ 𝜔̇ ∧ (𝑃 − 𝑄) + 𝜔 ∧ ൫𝜔 ∧ (𝑃 − 𝑄)൯ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ ௔೟ + 2𝜔 ∧ 𝑣௥ᇣᇧᇤᇧᇥ ௔಴ = 𝑎௥+ 𝑎௧+ 𝑎஼= 𝑎௔ Dinamica relativa: 𝑚𝑎௥= 𝐹 − 𝐹௧− 𝐹஼ SISTEMI RIGIDI Atto di moto rigido: insieme di tutte le velocità dei punti di un sistema che istante per istante può essere considerato rigido. Teorema: condizione necessaria e sufficiente affinché l’atto di moto sia rigido è: (𝑣஻− 𝑣஺) ∙ (𝐵 − 𝐴) = 0 , cioè che i due punti abbiano uguale componente della velocità lungo la loro congiungente. - condizione necessaria: (𝑣஻− 𝑣஺) ∙ (𝐵 − 𝐴) = 0 . Dimostrazione: (𝐵 − 𝐴) = 𝑐𝑜𝑠𝑡 → (𝐵 − 𝐴) ∙ (𝐵 − 𝐴) = 𝑐𝑜𝑠𝑡 = (𝐵 − 𝐴)ଶ→ 2 ௗ(஻ି஺) ௗ௧ ∙ (𝐵 − 𝐴) = 0 → (𝑣஻− 𝑣஺) ∙ (𝐵 − 𝐴) = 0 - condizione sufficiente: (𝑣஻−…