FSSB 2023 08 30SOL

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Fondamenti di statistica e segnali biomedici [1] (allievi Bio) Proff. Sangalli, Verri, Zanella Prova scritta del 30/8/2023 Cognome Nome Matricola o Codice Persona N. Nelle soluzioni non basta scrivere i risultati finali: riportare i passaggi principali e fornire adeguate spiegazioni. Scrivere le soluzioni con calligrafia leggibile: nella valutazione complessiva dell’elaborato si terr` a conto anche dell’ordine. Tempo: 1h 30min Esercizio 1 1Ogni domenica Aldo e Bruno giocano a carte: il 20% delle volte a Ramino, il 30% delle volte a Tressette e il 50% delle volte a Canasta. Nei tre casi la probabilit` a che Aldo vinca ` e 60%, 25% e 40%, rispettivamente. (a) Qual ` e la probabilit` a che domenica prossima Aldo vinca? (b) Se domenica prossima giocano a Ramino, qual ` e la probabilit` a che Bruno vinca? (c) Qual ` e la probabilit` a che domenica scorsa abbiano giocato a Ramino se ha vinto Bruno? Soluzione dell’esercizio 1 Siano definiti i seguenti eventi: A =“Aldo vince”, A =“Bruno vince”, R =“Ramino”, T =“Tressette”, C =“Canasta”. Dal testo dell’esercizio risulta che P (R) = 0.2, P (T ) = 0.3, P (C) = 0.5, P (A|R) = 0.6, P (A|T ) = 0.25, P (A|C) = 0.4. (a) Applicando la formula delle probabilit` a totali si ottiene: P (A) = P (A|R) × P (R) + P (A|T ) × P (T ) + P (A|C) × P (C) = 0 .6 × 0.2 + 0.25 × 0.3 + 0.4 × 0.5 = 0.395 =⇒ P (A) = 39.5% (b) P A|R
= 1 − P (A|R) = 1 − 0.6 = 0.4 =⇒ P A|R
= 40% (c) Applicando la formula di Bayes: P R|A
= P A|R
P (R) P A
= 0.4 × 0.2 1 − 0.395 ≃ 0.1322 =⇒ P R|A
≃ 13.22% 1Tratto da: M. Verri, Probabilit` a & Statistica. 600 esercizi d’esame risolti, Societ` a Editrice Esculapio 1 Esercizio 2 La tabella seguente rappresenta la densit` a congiunta della variabile aleatoria bivariata discreta (X, Y ): (X, Y ) y = 1 y = 2 y = 3 x = 1…