Integral

Page 1

Calcolo di integrali - svolgimento degli esercizi 1) Calcoliamo una primitiva di cos(3x)e5x. Integriamo due volte per parti, scegliendoe5x dx come fattore differenziale e cos(3x) come fattore finito. Si ha ∫ cos(3x)e5x dx = e5x 5 cos(3x)+3 5 ∫ e5x sin(3x)dx = e5x 5 cos(3x)+3 5 [e5x 5 sin(3x)− 3 5 ∫ cos(3x)e5x dx ] =1 5e5x cos(3x)+ 3 25e5x sin(3x)− 9 25 ∫ cos(3x)e5x dx. Si ottiene quindi 34 25 ∫ cos(3x)e5x dx = e5x 25 ( 5cos(3x)+3sin(3x) ) , da cui ∫ cos(3x)e5x dx = e5x 34 ( 5cos(3x)+3sin(3x) ) + C. Indicando conI l’integrale richiesto, si ha I= 1 34 [ e5x(5cos(3x)+3sin(3x)) ]2π 0 = 1 34(5e10π − 5)=5 34(e10π − 1). 2) Lavoriamo come nell’esercizio precedente, integrando due volte per parti. A differenza dell’esercizio 1, consideriamo sin(2x)dx come fattore differenziale ee4x come fattore finito. Si ha ∫ sin(2x)e4x dx =− cos(2x) 2 e4x +2 ∫ e4x cos(2x)dx =− cos(2x) 2 e4x +2 [ e4x sin(2x) 2 − 2 ∫ sin(2x)e4x dx ] =− e4x cos(2x) 2 + e4x sin(2x)− 4 ∫ sin(2x)e4x dx. Si ottiene quindi 5 ∫ sin(2x)e4x dx = e4x 2 ( 2sin(2x)− cos(2x) ) , da cui ∫ sin(2x)e4x dx = e4x 10 ( 2sin(2x)− cos(2x) ) + C. Indicando conI l’integrale richiesto, si ha I= 1 10 [ e4x(2sin(2x)− cos(2x)) ]2π 0 = 1 10(1− e8π). 1 Braides-Tauraso 2001/02 2 3) Osserviamo che la funzione integranda `e pari. Indicato conI l’integrale richiesto, risulta I=2 ∫ 1 2 0 t2 arctan(2t)dt=1 4 ∫ 1 0 x2 arctanxdx, avendo utilizzato la sostituzionex =2t. Calcoliamo una primitiva dix2 arctanx,integrando per parti. Scegliendox2dx come fattore differen- ziale e arctanx come fattore finito, si ha∫ x2 arctanxdx = x3 3 arctanx − 1 3 ∫ x3 1+ x2 dx. Effettuando la divisione tra i polinomix3 e1 +x2, si trova∫ x3 1+ x2 dx = ∫ ( x − x 1+ x2 ) dx. Ricordando ora che una primitiva dix 1+ x2 `e1 2log(1+x2), si ha ∫ x2 arctanxdx = x3 3 arctanx − 1 3 ∫ xdx+…