Introduzione al calcolo vettoriale con esempi applicativi 2

Page 1

16Abbiamo quindi x=αa+b∧a||a||2 con α variabile.Fissiamo a piacere un secondo ′a⊥a e un secondo ′b.Otterremo analogamente x=′α′a+′b∧′a||′a||2.Moltiplicando scalarmente per a tali eguaglianze: a⋅x=α||a||2+a⋅(b∧a)||a||2=α||a||2a⋅x=a⋅(′b∧′a)||′a||2⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪ quindi, sottraendo membro a membro, 0=α||a||2−a⋅(′b∧′a)||′a||2 donde si ricava il valore α=a⋅(′b∧′a)||′a||2||a||2. In conclusione:x=a⋅(′b∧′a)||′a||2||a||2a+b∧a||a||2Tornando al problema fisico è evidente che due sole iterazioni del procedimento di misura sono sufficienti afornire il valore del vettore incognito B in ogni punto dello spazio.Fatte le debite sostituzioni otterremo B=1qv⋅(′F∧′v)||′v||2||v||2v+1qF∧v||v||2. §6APPLICAZIONI ALLA GEOMETRIA ANALITICAIl formalismo vettoriale si rende utile non solo in fisica, come abbiamo sopra accennato, ma anche nellarappresentazione e soluzione di problemi di geometria analitica quali: equazioni di rette, piani, sfere ecirconferenze, calcolo delle distanze di punti da rette e piani e di rette parallele o sghembe, proiezioniortogonali di punti su rette e piani, equazioni di piani tangenti a superfici sferiche etc.; il tutto in ambitotridimensionale euclideo e a sostegno di formule risolutive banalmente traducibili in coordinate cartesiane.Le operazioni tra vettori definite nei precedenti paragrafi si fanno apprezzare per la possibilità diestendere la corrispondenza tra problemi geometrici e algebrici alla dimensione 3 in modo spontaneo esorprendentemente semplice, specie nel confronto con metodi più tradizionali basati sull’uso delle solecoordinate; al tempo stesso esse forniscono la base intuitiva delle ulteriori generalizzazioni n-dimensionaliproprie dell’algebra lineare.6.1EQUAZIONE PARAMETRICA DI UNA RETTA NELLO…