Linear applications matrices

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M]n×n,IR‘tr−→I R,tr]A‘ua11ba22b· · ·bann ` e un ’applicazione lineare. Dimostrare inoltre che 1.Il sottospazio diM]n×n,IR‘delle matrici a traccia nulla ha dimensione n2−h. In altri termini, verificare chedim Kertrun2−h. 2.tr]AB‘utr]BA‘ 3.tr]B−1AB‘utrA Esercizio 1.8SiaAu ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ hm −i −i−pk hl k ⏐⏐⏐⏐⏐⏐ e siaLArIR3−→IR3l’applicazione lineare definita ponendoLA]X‘uAX, per ogniX∈IR3. 1.Dire per quali valori del numero realek, l’applicazioneLA` e iniettiva. 2.Dire per quali valori del numero realek, l’applicazioneLA` e suriettiva. 3.Determinare, per ognik∈I R, una base diker]F‘e una base diIm ]F‘. Esercizio 1.9SiaFrIR2−→IR3l’applicazione lineare definita da F]x, y‘ u ]x−y,g,ix−iy‘, e siaGrIR3−→IR3l’applicazione lineare definita da G]x, y, z‘ u ]x,g,x−z‘. h‘Trovare una base diImF. i‘Trovare una base dikerF. k‘Dette rispettivamenteC2eC3le basi canoniche di I R2e di I R3, scrivere la matrice MC2 C3]G◦F‘ Esercizio 1.10Rispetto alla base canonica Bdi I R2, il vettorevha coordinate]i,−h‘. Trovare le componenti divrispetto alla baseB′costituita dai vettorie′ 1u ]h,k‘,e′ 2u ]−h,−h‘. Esercizio 1.11Si consideri la baseB′u ]]h,h,g‘,]−h,h,g‘,]g,g,h‘‘di I R3e siavil vettore di coordinate]h,i,g‘rispetto alla base canonicaBdi I R3. Trovare le coordinate divrispetto alla baseB′. Esercizio 1.12Sia I R2 S−→IR2, la simmetria rispetto alla bisettrice x−yug. SiaBu ]e1,e2‘la base canonica diR2eB′u]e′ 1,e′ 2‘un ’altra base di I R2cos ` ı definita:e′ 1u ]h,h‘ u e1be2,e′ 2u ]h,−h‘ ue1−e2. DeterminareMB B]S‘eMB′ B′]S‘. i Esercizio 1.13In I R3si considerino le basiBu]e1,e2,e3‘eB′u]e′ 1,e′ 2,e′ 3‘dove e′ 1ue3,e′ 2ue1−e2,e′ 3ue2. Sia I R3F−→IR3l’operatore cos ` ı definito: F]e1‘ue1be2,F]e2‘ue3,F]e3‘ u g 1.TrovareMB B]F‘ 2.TrovareMB′ B′]F‘ 3.Siavil vettore di I R3le cui coordinate, rispetto alla base B′,…