Linearizzazione

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1. Linearizzazione dell'equazione di moto per un sistema ad 1 d.o.f. Riscriviamo le forme di energia EC = 1 2· nc∑ j=1 6∑ i=1 mji· ˙ym(q)2 ji = 1 2· nc∑ j=1 6∑ i=1 mji· (∂ym(q)ji ∂q )2 · ˙q2 = 1 2·M(q)· ˙q2 V = 1 2· nk∑ j=1 kj· ∆l(q)2 j + np∑ j=1 mj·g·h(q)j D = 1 2· nr∑ j=1 rj· ˙∆l(q)2 j = 1 2· nr∑ j=1 rj· (∂∆l(q)j ∂q )2 · ˙q2 = 1 2·R(q)· ˙q2 δ∗L = nf∑ j=1 Fj·δ∗yf(q)j = nf∑ j=1 Fj· (∂yf(q)j ∂q ) ·δ∗q =Fqδ∗q L'equazione di Lagrange è: d dt (∂EC ∂ ˙q ) − ∂EC ∂q + ∂D ∂ ˙q + ∂V ∂q = Fq M(q)· ¨q + 1 2· ∂M (q) ∂q ˙q2 +R(q)· ˙q + nk∑ j=1 kj· ∆l(q)j· ∂∆l(q)j ∂q + np∑ j=1 mj·g· ∂h(q)j ∂q = Fq Per linearizzare l'equazione di moto del sistema possiamo considerare la forzante come somma di una componente costante e di una componente variabile (o tempo-dipendente). Fq =Fq0 +fq(t) Per determinare la posizione di equilibrio statico del sistema dobbiamo considerare solo le componenti statiche dell'equazione di Lagrange: (∂V ∂q ) 0 = Fq0 nk∑ j=1 kj· ∆l(q0)j· (∂∆l(q)j ∂q ) 0 + np∑ j=1 mj·g· (∂h(q)j ∂q ) 0 = Fq0 In generale quest'ultima è un'equazione non lineare e se risolta permette di trovare la posizione statica (in generale possono esistere più posizioni di equilibrio, bisogna studiarne la stabilità). Eettuiamo una trasformazione delle coordinate: q = q0 +q ˙q = ˙q⇒ ˙q0 = 0 ¨q = ¨q⇒ ¨q0 = 0 L'equazione del moto perturbato è: d dt (∂EC ∂ ˙q ) − ∂EC ∂q + ∂D ∂ ˙q + ∂V ∂q =fq(t) Fabio Santoro Pag. 1 Adesso dobbiamo linearizzare le altre forme di energia, dobbiamo quindi renderle quadratiche 1.1 Energia Cinerica EC =EC0 + (∂EC ∂q ) 0 ·q + (∂EC ∂ ˙q ) 0 · ˙q + 1 2· (∂2EC ∂q 2 ) 0 ·q2 + 1 2· (∂2EC ∂ ˙q2 ) 0 · ˙q 2 + 1 2· (∂2EC ∂ ˙q·∂q ) 0 ·q· ˙q +··· Analizziamo un termine alla volta: ˆ EC0 =cost ˆ (∂EC ∂q ) = 1 2· (∂M (q) ∂q ) · ˙q2⇒ (∂EC ∂q ) 0 = 1 2· (∂M (q) ∂q ) 0 · ˙q2 0 = 1 2· (∂M…