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Metodi Analitici e Numerici per l’Ingegneria – A.A. 2018/2019 Appello del 21 Gennaio 2020 - Docenti: Mola e Parolini Nome: ............................ Cognome: .............................. Matr. A A A A A A Attenzione: risolvere i seguenti esercizi con l’ausilio di Matlab. Per ciascun esercizio riportare sul retro del foglio i comandi Matlab utilizzati. Per accedere alle funzioni Matlab richieste eseguire in Matlab il comando addpath(’M:\MATLAB\Toolbox\Parolini’). Esercizio 1. Si consideri il seguente problema di Cauchy { y′(t) = 2y(t)(1− y(t)/3), 0 < t≤ 2, y(0) = 1. a. Si calcoli un’approssimazione della soluzione all’istante t = 2 utilizzando il metodo di Eulero in avanti (eulero avanti.m) con passo di discretizzazione h = 0.1. Calcolare l’errore all’istante t = 2, sapendo che la soluzione esatta ` ey(t) = 3/(1 + 2e−2t). Riportare i valori della soluzione e dell’errore all’istante t = 2 in format long . [M] b. Ripetere il punto precedente con passo di discretizzazione h = 0.05. [M] c. Si definisca la propriet` a di assoluta stabilit` a e la si discuta per il problema in esame anche con riferimento ai risultati numerici ottenuti. [T] Esercizio 2. a. Si introduca il metodo di Gauss-Seidel per la soluzione di un sistema lineare. Si presenti una condizione necessaria e sufficiente per la convergenza. Si presentino inoltre condizioni sufficienti (ma non necessarie) per la convergenza. [T] b. Si risolva il sistema Ax = b, definito dalla matrice tridiagonale A =   2 −1 0 0 . . . 0 −1 2 −1 0 . . . 0 0 −1 2 −1 . . . 0 ... ... ... 0 . . . 0 −1 2 −1 0 . . . 0 0 −1 2   ∈ R30×30, e dal vettore b = [1 , 1, ...,1]T ∈ R30 utilizzando il metodo Gauss-Seidel ( gs.m) a partire dalla soluzione iniziale x = (0, 0, ...,0)T∈ R30 con una tolleranza di 10−6. Si riporti la…