Numeri interi

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I numeri interi Teorema 1. (divisione in Z) Siano a, b∈ Z, b̸= 0. Allora esistono e sono unici q, r∈ Z tali che (1) a = bq + r (2) 0 ≤ r <|b|. Si dice che q ` e ilquoziente e r ` e ilresto della divisione di a per b. Inotre, si ha: r = 0 ⇐⇒ b| a. Proposizione 1. Per ogni a, b, c∈ Z, a̸= 0 si ha: 1. a| b ⇒ (a| (−b) ∧ −a| b ∧ −a| (−b)) 2. ( a| b ∧ a| c) ⇒ a| (b + c)∧ a| (b− c) 3. se b̸= 0 ( a| b ∧ b| c) ⇒ a| c 4. se b̸= 0 ( a| b ∧ b| a) ⇒ b =±a 5. a| b ⇒ a| bc. Dimostrazione. 1. Siano a, b∈ Z con a̸= 0 e a|b. Allora esiste q∈ Z tale che b = qa. Quindi (1) − b = (−q)a⇒ a|(−b) Inoltre b = (−q)(−a) e pertanto−a|b da cui, usando (1), −a|(−b). 2. Siano a, b, c∈ Z con a̸= 0, a|b e a|c. Allora esistono p, q∈ Z tali che b = pa e c = qa. Quindi b± c = pa± qa = (p± q)a e pertanto a|(b± c). 3. Siano a, b, c∈ Z con a̸= 0, b̸= 0, a|b e b|c. Allora esistono r, s∈ Z∗ tali che b = ra e c = sb. Segue che c = sb = s(ra) = (sr)a, da cui certamente a| c 4. Siano a, b∈ Z∗ con a|b e b|a. Allora esistono h, k∈ Z∗ tali che b = ha e a = kb. Segue che b = ha = h(kb) = (hk)b e quindi h e k sono due interi il cui prodotto ` e 1 e pertantoh = k = 1 oppure h = k =−1, ovvero b =±a. 5. Siano Siano a, b∈ Z con a̸= 0 e a|b. Allora esiste q∈ Z tale che b = qa. Allora bc = (qa)c = (qc)a e dunque a|bc. Definizione 1. Siano a, b∈ Z, a, b non entrambi nulli. Si dice massimo comun divisore tra a e b un intero d∈ Z tale che • d| a ∧ d| b •∀ d′∈ Z tale che d′| a ∧ d′| b si ha d′| d. Osservazione 1. Dalla Proposizione 1 segue subito che se d ` e un massimo comun divisore tra a e b lo ` e anche tra−a e b, tra a e−b, tra−a e−b. Inoltre, nella Definizione 1 si richiede che almeno uno tra a e b sia non nullo: se uno dei due ` e nullo, per esempio a = 0, allora b ` e massimo comun divisore traa e b. Infatti: • b| 0∧ b|…