Parte esercizi sol 4

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Probabilit` a e Statistica Matematica 14.07.2014 — Esercizi Esercizio 1. Alcuni studenti sono divisi in gruppi composti al pi` u da 6 studenti. Lo stesso esercizio di Statistica viene svolto da ogni gruppo. Nella tabella seguente sono riportati il numero di studenti X che compongono un gruppo, il numero di errori Y compiuti nello svolgimento dell’esercizio dai vari gruppi, e le relative frequenze assolute. Y\X 1 2 3 4 5 6 0 1 2 0 1 0 1 1 0 0 1 0 2 0 2 1 0 1 0 0 0 3 1 1 0 0 0 0 = Y\X 1 2 3 4 5 6 0 a01 a02 a03 a04 a05 a06 1 a11 a12 a13 a14 a15 a16 2 a21 a22 a23 a24 a25 a26 3 a31 a32 a33 a34 a35 a36 Per esempio a15 = 2 significa che 2 gruppi con 5 studenti hanno fatto 1 errore. 1.1 Costruire la tabella (a doppia entrata) delle frequenze relative. Soluzione: Dalla tabella si evince che il numero totale di gruppi ` e 12 per cui la tabella delle frequenze relative ` e Y\X 1 2 3 4 5 6 0 1/12 2/12 0 1/12 0 1/12 1 0 0 1/12 0 2/12 0 2 1/12 0 1/12 0 0 0 3 1/12 1/12 0 0 0 0 1.2 Calcolare le frequenze marginali pX di X e pY di Y . Soluzione: La frequenza marginale pX si ottiene dalla congiunta sommando per colonna: X pX 1 3/12 2 3/12 3 2/12 4 1/12 5 2/12 6 1/12 mentre quella pY di Y si ottiene sommando per riga: Y pY 0 5/12 1 3/12 2 2/12 3 2/12 1.3 X e Y sono indipendenti? Soluzione: X e Y non sono indipendenti, infatti ad esempio si ha che P{X = 1,Y = 1} = 1 12̸= 5 12 =P{X = 1}P{Y = 1}. 1.4 Calcolare le medie osservate di X e di Y , e le rispettive varianze. Soluzione: E[X] = 2.92, E [Y ] = 1.083, V[X] = 2.72, V[Y ] = 1.243 1.5 Calcolare il coefficiente di correlazione ρXY Soluzione: ρXY = E[XY ]−E[X]·E[Y ]√ V[X]· V[Y ] = 1.833− 2.92· 1.083 1.649· 1.115 =−0.723 Esercizio 2. Una ditta produce termostati per scaldabagni; i termostati sono costruiti per aprire un circuito alla…