ProvaItinere 02maggio2018

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Teoria dei fenomeni aleatori e della stima – 02/05/2018 • Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti. • Verranno valutate solo le parti scritte in penna – non usare correttori. • Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. • Riportare il proprio nome, cognome, e numero di matricola su ogni foglio consegnato. • Esercizio da escludere dal punteggio finale: 1 Si consideri un mazzo di 40 carte ben mescolato. Si distribuiscono 5 carte a ognuno di 3 giocatori. Qual ` e la probabilit` a che ogni giocatore riceva esattamente un 2? 2 Si consideri il lancio di una moneta bilanciata. Se esce testa si estraggono 2 biglie da un’urna con 5 biglie nere e 5 bianche. Se esce croce si estraggono 2 biglie da un’urna con 3 biglie nere e 7 bianche. Calcolare: (a) La probabilit` a di estrarre due biglie nere (b) La probabilit` a di ottenere croce e due biglie nere (c) Avendo estratto due biglie nere, la probabilit` a di aver ottenuto croce 3 In un triangolo rettangolo la lunghezza dell’ipotenusa ` e unitaria e uno dei restanti angoliα viene scelto in maniera uniformemente distribuita tra 0 e π/2 radianti. Com’` e distribuita la lunghezza del lato opposto all’angolo α? Suggerimento: d dxarcsin(x) = 1√ 1−x2 4 Considerare la regioneR in figura delimitata dal poligono di 4 lati. Due v.a. X e Y hanno distribuzione congiunta uniforme nella regioneR e zero altrimenti. (a) Determinare l’espressione della fX,Y , della fX, e della fY|X (b) Calcolare E[X] e E[Y|X =x] per ogni x∈ R (c) Calcolare Var[X] x0 21 1 y R 5 SiaXi, i= 1, 2,··· una successione di v.a. i.i.d. con Xi∼U [−1, 1]. Determinare se le seguenti successioni convergono in probabilit` a a qualche limite: (a) (−1)iXi, i = 1, 2,··· (b) (−Xi)i, i = 1, 2,··· (c) Si = ∑i k=1Xk/i, i = 1, 2,··· 6 Dovete…