ProvaItinere 13aprile2019

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Teoria dei fenomeni aleatori e della stima – 13/04/2019 • Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti. • Verranno valutate solo le parti scritte in penna – non usare correttori. • Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. • Riportare il proprio nome, cognome, e numero di matricola su ogni foglio consegnato. • Esercizio da escludere dal punteggio finale: 1 Si consideri l’insieme di numeri A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Qual ` e la probabilit` a che, pescando a caso un sottoinsieme di 5 numeri di A, ci sia almeno un numero pari? 2 Si supponga di svolgere 5 esercizi in ogni prova scritta, e per ogni esercizio di vedersi assegnati o 0 o 6 punti, rispettivamente con probabilit` a 1−p e p = 1/2, indipendentemente da tutti gli altri esercizi. In ordine cronologico ci sono 2 prove in itinere e 1 appello completo. Supponendo di partecipare a tutti gli appelli se necessario, e che l’accesso alla seconda prova in itinere ` e condizionata ad aver ottenuto un punteggio di almeno 18 nella prima prova in itinere, calcolare la probabilit` a di non aver sostenuto l’appello sapendo di aver superato l’esame. Il punteggio finale ` e la media delle prove in itinere o, in alternativa, il punteggio della prova di appello. 3 Sia X∼U [0, 2] e Y = min{1,X 2}. La v.a. Y ` e discreta, continua o mista? Trovare la legge cumulata di probabilit` a diY e rappresentarla graficamente. 4 Considerare la regioneR in figura delimitata dal triangolo. Due v.a. X eY hanno distribuzione congiunta uniforme nella regioneR e zero altrimenti. (a) Determinare l’espressione della fX,Y , della fX, e della fX|Y . (b) Le variabili X e Y sono indipendenti? Perch´ e? (c) Calcolare E[X] e E[X|Y =y] per ogni y∈ R x0 21 1 y R 5 Sia X∼N (0, 1) e Y ∼N (2, 4), con ρ[X,Y ] = 0.5.…