Richiami di analisi e calcolo numerico

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APPUNTI DI ANALISI PER IL CORSO DI MET. ANALIT. E NUMER. PER L’ING. MECC. RISUL T A TI PRELIMINARI 1. Teorema del valor medio integrale in Rn I risultati di tutti gli appunti sono validi in Rn per n ∈N, ma in realt` a saranno utilizzati per n = 1, 2, 3, quindi lo studente potr` a limitarsi a considerare questi casi particolari. Per r > 0 numero reale e x0 ∈Rn fissati, indicheremo con Br(x0) l’insieme dei punti x ∈Rn che distano da x0 meno di r nel senso della norma euclidea (si ricorda che per x = (x1, x2, ..., xn) ∈Rn la norma euclidea di x, indicata con |x|o con ∥x∥ ` e data dal numero reale positivo ( x2 1 + x2 2 + ... + x2 n )1/2 e la distanza tra due punti x e y ` e∥x − y∥). In simboli Br(x0) = { x ∈Rn ⏐⏐⏐∥x − x0∥ < r } In particolare se n = 1, Br(x0) = ( x0 − r, x0 + r), se n = 2, Br(x0) ` e il cerchio con centro x0 e raggio r e se n = 3, Br(x0) ` e la sfera con centro x0 e raggio r. Indicheremo inoltre con ¯Br(x0) la chiususa di Br(x0), cio` eBr(x0) unito ai punti di frontiera. Indicheremo inoltre con ⏐⏐Br(x0) ⏐⏐ la misura di Br(x0), che in particolare per n = 1 ` e 2r, per n = 2 ` e l’area del cerchio di raggio r e per n = 3 ` e il volume della sfera di raggio r. T eorema 1.1. Sia f : ¯Br(x0) →R continua. Allora esiste y ∈ ¯Br(x0) tale che (1.1) 1 |Br(x0)| ∫ Br(x0) f (x) dx = f (y) . La dimostrazione ` e analoga al caso unidimensionale. Corollario 1.2. Nelle stesse ipotesi del Teorema 1.1 si ha che (1.2) lim r→0 1 |Br(x0)| ∫ Br(x0) f (x) dx = f (x0) . La dimostrazione segue immediatamente dal Teorema 1.1 facendo il limite di (1.1) e usando la continuit` a di f . 2. Scambio tra integrale e derivata Consideriamo una funzione f definita su un insieme del tipo A × B con A ⊂Rm e B ⊂Rn insiemi aperti. Scriveremo f (x, y) dove x ∈Rm e y ∈Rn. Supponiamo che f sia…