Schema

Page 1

Metodo di Bisezione Applicabilità metodo di bisezione: Se è continua in e ammette almeno uno zero in . Proprietà di convergenza: converge allo zero in quanto si dimezza ad ogni passo. Essendo , l’errore al passo sarà t.c.: . Per garantire che , basta fermarsi dopo iterazioni: Affidabilità criteri d’arresto: . Stima accurata dell’errore se in un intorno dello zero cercato. Se ho sovrastima dell’errore, se ho sottostima dell’errore. Bisez: function [xvect, it] = bisez(a, b, toll, f) if f(a)*f(b)>= 0 error('Il metodo non è applicabile') end xvect = []; nmax = ceil(log2((b - a)/toll)-1); err = toll + 1; it = -1; while (err > toll && it < nmax) it = it + 1; x = (b + a)/2; if f(x) == 0 err = 0; elseif f(a)*f(x)<0 b = x; err = abs(f(x)); else a = x; err = abs(f(x)); end xvect = [xvect; x]; end Metodo di Newton Descrizione: Cerchiamo t.c. . Dall’eq. della retta tangente si trova: , purché . Equivale a calcolare lo zero di sostituendo localmente a la sua retta tangente. Convergenza e ordine di convergenza: Newton converge a zero in un solo passo quando è lineare. La convergenza di Newton non è garantita , ma solo per valori di suff. vicini ad . Se è scelto opportunamente, lo zero è semplice ( ) e , Newton converge almeno quadraticamente: . Se lo zero ha molteplicità l’ordine 2 di convergenza può essere recuperato usando: . Criterio d’arresto: Diff fra due it succ: . Buon criterio quando lo zero è semplice, . Newton:function [xvect, it] = newton(x0, nmax, toll, f, df) xvect = []; x = x0; err = toll+1; it = 0; while (err > toll && it < nmax) if df(x) == 0 error('Azzeramento della derivata prima') end err = abs((x - (f(x)/df(x))) - x); x = x - (f(x)/df(x)); xvect = [xvect; x]; it = it + 1; end Punto fisso Descrizione: Data viene detto punto fisso di se e lo si può determinare come…