Schema appunti V1

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Sistemi Dinamici:  Induttore: 𝑖 = 𝑥1 , 𝑣 = 𝐿𝑥 1  Condensatore: 𝑖 = 𝐶𝑥 2 ,𝑣 = 𝑥2  Massa: 𝑥 1 = 𝑥2 𝑥 2 = 1 𝑀 𝑢 , 𝑑𝑜𝑣𝑒 𝑥1 = 𝑝 𝑥2 = 𝑣 𝑢 = 𝐹  Oscillatore meccanico: 𝑥 1 = 𝑥2 𝑥 2 = 1 𝑀 (−𝐾𝑥1 − 𝐷𝑥2 + 𝑢) , 𝑑𝑜𝑣𝑒 𝑥1 = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑥2 = 𝑣 𝑢 = 𝐹  Pendolo: 𝑥 1 = 𝑥2 𝑥 2 = − 𝑔 𝑙 sin x1 + 1 ml2 u− k ml 2 𝑥2 coppia , 𝑑𝑜𝑣𝑒 𝑥1 = 𝜗 𝑥2 = 𝜔 = 𝜗 𝑢 = 𝜏  Serbatoio cilindrico: 𝑥 1 = 1 𝐴𝑆 𝑢 − 𝑦 , 𝑑𝑜𝑣𝑒 𝑥1 = 𝑕 𝑢 = 𝑞𝑖 𝑦 = 𝑞𝑓  Serbatoio cilindrico con valvola d’efflusso: 𝑥 1 = −𝑘 𝐴𝑉 𝐴𝑆 𝑥1 + 1 𝐴𝑆 𝑢, 𝑑𝑜𝑣𝑒 𝑥1 = 𝑕 𝑢 = 𝑞𝑖 Funzione di Trasferimento:  𝐺 𝑠 = 𝑌(𝑠) 𝑈(𝑠) = 𝐶𝐵 𝑠𝐼𝑛−𝐴 + 𝐷  𝐺 𝑠 = 𝜇 𝑠𝑔 (1+𝑠𝜏𝑖)𝑖 (1+𝑠𝑇𝑖)𝑖 (1+2 𝜉𝑧𝑖 𝜔𝑛𝑧𝑖 𝑠+ 𝑠2 𝜔𝑛𝑧𝑖 2 )𝑖 (1+2 𝜉𝑝𝑖 𝜔𝑛𝑝𝑖 𝑠+ 𝑠2 𝜔𝑛𝑝𝑖 2 )𝑖  𝐺 𝑠 = 𝜇 𝑠 𝑠2+2𝜉𝜔𝑛𝑠+𝜔𝑛2 Stabilità del sistema: (N.B. i poli della fdt coincidono con gli autovalori di A)  Asintoticamente stabile: se e solo se tutti i poli della sua fdt hanno parte reale negativa;  Semplicemente stabile: se e solo se tutti i poli della sua fdt hanno parte reale negativa o nulla, almeno uno ha parte reale nulla, e tutti i poli a parte reale nulla sono semplici;  Instabile: se e solo se almeno un polo della sua fdt ha parte reale positiva oppure ha parte reale nulla ed è multiplo;  Se il Sistema è di ordine ≥ 2 , la condizione necessaria è anche sufficiente Poiché i coefficienti del denominatore sono tutti > 0,allora il sistema è asintoticamente stabile.  Criterio di Routh: 𝐷 𝑠 = (𝑎𝑢𝑡𝑜𝑣𝑎𝑙. ) = 𝑎𝑠3 + 𝑏𝑠2 + 𝑐𝑠 + 𝑑  𝑓 = 𝑎 𝑐 0 𝑏 𝑑 0 − 𝑑𝑒𝑡 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 𝑏 0 − 𝑑𝑒𝑡 𝑏 𝑑 𝑒 0 𝑒  se tutti i coeff. della 1°colonna sono diversi da 0 il sistema è asintoticamente stabile;  det 𝐴 = > 0 → 𝑎𝑠.𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡à < 0 → 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑒 oppure 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝑥 ,𝑢 > 0 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑒 < 0 𝑎𝑠.𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑒 Guadagno Statico: Se 𝑔 = 0 → 𝜇 = lim𝑠→0 𝐺 𝑠 = 𝐺 0 → rapporto tra ingresso e uscita all’equilibrio. Osservabilità: 𝐾𝑜 = 𝐶 𝐶𝐴 𝐶𝐴2 , 𝑠𝑒 det 𝐾𝑜 ≠ 0 → 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒 𝑜𝑠𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑏𝑖𝑙𝑒…