Series

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Serie 1. Studiare il carattere delle seguenti serie: 1) +∞∑ n=0 e−n n + en 2) +∞∑ n=4 ( n n − 3 )n2 3) +∞∑ n=1 n2n e n 2 4) +∞∑ n=2 sin 1 n√n log n 5) +∞∑ n=1 e 1 n n2 6) +∞∑ n=0 (2 + sin n 4 )n 7) +∞∑ n=0 √ n + 1 − √n 8) +∞∑ n=1 |log λ|n n , λ > 0 9) +∞∑ n=1 sin(sin 1 n ) 10) +∞∑ n=1 n! nn 11) +∞∑ n=1 (−1)n sin2 n n2 12) +∞∑ n=1 λn n , λ ∈R 13) +∞∑ n=1 cos(nπ) n 1 2. Stabilire per quali valori del parametro reale λ converge la serie +∞∑ n=0 (λ2−1)n. Per i valori trovati calcolarne la somma. 3. Scrivere la successione delle somme parziali della serie +∞∑ n=0 (λn+1 − λn). Determinarne il carattere e la somma. 4. Stabilire, al variare del parametro reale positivo λ, il carattere di +∞∑ n=0 1 (2λ)n + nλ . 5. Stabilire per quali valori del parametro reale a converge la serie +∞∑ n=0 (n + 1− √ n2 + 2n)a. 6. Stabilire il carattere di +∞∑ n=2 log n n2 . 7. Stabilire, al variare del parametro reale a, il carattere di +∞∑ n=1 n!na nn . 8. Stabilire il carattere di +∞∑ n=0 (sin n + cos n 2 )n . 9. Stabilire, al variare del parametro reale λ, il carattere di +∞∑ n=1 √n + log n n2 + λn sin n. 10. Stabilire il carattere di +∞∑ n=2 (−1)n log n n . 11. Stabilire il carattere di +∞∑ n=2 cos( π 2 n) n . 12. Dopo aver stabilito la convergenza delle seguenti serie, calcolarne la somma: 1) +∞∑ n=0 (−1)n 22n 2) +∞∑ n=1 2n 3n+1 2 3) +∞∑ n=0 2n e2n 4) +∞∑ n=1 2 n3 + 3n2 + 2n Traccia delle soluzioni. 1. 1) Serie a termini positivi, e−n n + en ∼ ( 1 e2 )n , converge. 2) Serie a termini positivi, ( n n − 3 )n2 ∼ e 3n2 n−3 ↛ 0, diverge. 3) Serie a termini positivi, n2n e n 2 = n ( 2√e )n ↛ 0, diverge. 4) Serie e termini positivi, sin 1 n√n log n ∼ 1 n 3 2 log n ≤ 1 n 3 2 definitivamente (∀n ≥ 3), converge. 5) Serie a termini positivi, e 1 n n2 ∼ 1 n2 , converge. 6) Serie a termini positivi, (2 +…