soluz appello luglio 2009

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Es. 5 T otale Algebra lineare e geometria Primo appello Docente: E. Schlesinger 14 luglio 2009 Cognome: Nome: Matricola: • T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Sia H il piano di R3 di equazione 3 x − y + z = 0. Scrivere il vettore v =   1 2 3   come somma di un vettore di H e di un vettore perpendicolare ad H. Soluzione In generale, dato un sottospazio H diRn, un vettore v ∈Rn si scrive in uno e un sol modo come somma di un vettore vH di H e di un vettore vH⊥ di H⊥. I vettori vH e vH⊥ sono le proiezioni ortogonali di v su H e su H⊥ rispettivamente. Esiste una formula esplicita per la proiezione ortogonale: se i vettori b1, . . . ,bd formano una base di H e sono a due a due perpendicolari , allora vH = ˆx1 b1 + ˆx2 b2 + · · ·+ ˆxd bd dove ˆxk = < v, bk > ||bk||2 k=1,2,. . . , d ` e il coefficiente di Fourier di v rispetto a bk. Se si conosce la proiezione vH su H, la proiezione su H⊥ si ricava come differenza: vH⊥ = v − vH Analogamente, nota la proiezione su H⊥, si pu` o ricavarevH come v − H⊥. Nell’esercizio in questione H ha dimensione due, mentre H⊥ ha dimensione 1, quindi ` e pi` u facile calcolare H⊥. Una base di H⊥ ` e formata da un vettore non nullo n perpendicolare a H: un vettore siffatto ` e quello che ha per componenti i coefficienti delle incognite nell’equazione del piano, nel nostro caso n =   3 −1 1   Quindi vH⊥ = < v, n > ||n||2 n = 3 − 2 + 3 32 + (−1)2 + 12 n =   12 11 − 4 11 4 11   e vH = v − vH⊥ =   1 2 3   −   12 11 − 4 11 4 11   =   −1 11 26 11 29 11   Possiamo controllare di non aver sbagliato i conti verificando…