soluz appello settembre 2009

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1. Sia A una matrice di tipo ( m, n) di rango r. Si dica se le seguenti affermazioni sono vere o false, giustif- icando le risposte. (punteggio: 3 punti per ogni affermazione, ciascuna versione del compito conteneva 3 affermazioni, quindi l’esercizio valeva 9 punti) (a) Se il sistema lineare Ax = b ammette soluzione per ogni b ∈Rm, allora r = m. V ero. Sia LA : Rn → Rm l’applicazione lineare rappresentata da A, cio` e la funzione x ↦→ Ax. L’ipotesi significa che tale applicazione ` e suriettiva. Quindi r = dim Im(LA) = dimRm = m. (b) Se n = m ed esiste b1 ∈Rn per cui il sistema Ax = b1 ammette pi` u di una soluzione, allora esiste b2 ∈Rn per cui il sistema Ax = b2 non ammette alcuna soluzione. V ero. Per ipotesi il sistema deve ammettere delle variabili libere, quindi r < n . Siccome m = n, dev’essere r < m . Quindi l’applicazione LA non ` e suriettiva, cio` e esisteb2 ∈Rn per cui il sistema Ax = b2 non ammette alcuna soluzione. (c) Se esiste b1 ∈Rm per cui il sistema Ax = b1 ammette infinite soluzioni, allora il sistema Ax = b ammette infinite soluzioni per ogni b ∈Rm. F also. Se r < n e r < m , ci sono dei b ∈Rm per cui il sistema ammette infinite soluzioni, e altri per cui il sistema non ha soluzione. (d) Se il sistema lineare Ax = b ammette al pi` u una soluzione per ogni b ∈Rm, allora r = n. V ero. L’ipotesi significa che l’applicazione LA ` e iniettiva, ed ` e equivalente a 0 = dim Ker( A) = n − r. (e) Se n = m ed esiste b1 ∈Rn per cui il sistema Ax = b1 non ammette alcuna soluzione, allora esiste b2 ∈Rn per cui il sistema Ax = b2 ammette infinite soluzioni. V ero. Per ipotesi LA non ` e suriettiva, quindi r < m . Siccome m = n, dev’essere r < n . Allora dim Ker(A) = n − r > 0, e il sistema omogeneo Ax = 0 ammette infinite soluzioni. (f) Se esiste b1 ∈Rm per cui il sistema…