Soluzione Appello 19 Gennaio 2026

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Meccanica dei Fluidi con Fondamenti di Ingegneria Chimica 19 Gennaio 2026 Esercizio 1 - Spinta su paratoia Punto 1 SI calcola la spinta che l’acqua esercita sulla paratoia in termini di pressione assoluta 𝑆𝑤 = 𝑝𝐺𝐴 = (𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝛾𝑤 (Δ − (ℎ𝑤 − 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃 2 ))) 𝑅𝐿 = 129240.7 𝑁 (1) Mentre in termini di pressione relativa 𝑆𝑤 = 𝑝𝐺𝐴 = 𝛾𝑤 (Δ − (ℎ𝑤 − 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃 2 )) 𝑅𝐿 = 68445.68 𝑁 (2) Punto 2 Per poter calcolare la pressione del gas è necessario impostare un equilibrio dei momenti rispetto alla cerniera in A delle forze che agiscono sulla paratoia. 𝑆𝑜𝑏𝑜 + 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃𝑅 2 = 𝑆𝑤𝑏𝑤 (3) Lavorando in termini di pressione assoluta: 𝑆𝑤𝑏𝑤 = ∫ 𝑑𝑆𝑤 𝑦 𝑑𝐴 = ∫ 𝑝(𝑦)𝑦𝐿𝑑𝑦 𝑅 0 = ∫ (𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝛾𝑤(Δ − ℎ𝑤)+ 𝛾𝑤𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑦𝐿𝑑𝑦 𝑅 0 = 𝐿 [𝑝𝑎𝑡𝑚 𝑅2 2 + 𝛾𝑤(Δ − ℎ𝑤)𝑅2 2 + 𝛾𝑤𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑅3 3 ] = 1 6 𝐿𝑅2(3𝑝𝑎𝑡𝑚 + 3𝛾𝑤(Δ − ℎ𝑤)+ 2𝛾𝑤𝑠𝑖𝑛𝜃𝑅) (4) Per calcolare il momento generato dalla spinta dell’olio 𝑆𝑜 è conveniente sfruttare il metodo integrale: 𝑆𝑜𝑏𝑜 = ∫ 𝑑𝑆0 𝑦 𝑑𝐴 = ∫ 𝑝(𝑦)𝑦𝐿𝑑𝑦 𝑅 0 = ∫ (𝑝𝑔𝑎𝑠 + 𝛾𝑜ℎ𝑜 + 𝛾𝑜𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑦𝐿𝑑𝑦 𝑅 0 (5) 𝑆𝑜𝑏𝑜 = 𝐿 [𝑝𝑔𝑎𝑠𝑅2 2 + 𝛾𝑜ℎ𝑜 𝑅2 2 + 𝛾𝑜𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑅3 3 ] = 𝐿𝑅2 1 6 (3𝑝𝑔𝑎𝑠 + 3𝛾𝑜ℎ𝑜 + 2𝛾𝑜𝑠𝑖𝑛𝜃𝑅) (6) L’equilibrio dei momenti rispetto alla cerniera in A è: 𝐿𝑅2 1 6 (3𝑝𝑔𝑎𝑠 + 3𝛾𝑜ℎ𝑜 + 2𝛾𝑜𝑠𝑖𝑛𝜃𝑅)+ 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃𝑅 2 = 1 6 𝐿𝑅2(3𝑝𝑎𝑡𝑚 + 3𝛾𝑤(Δ − ℎ𝑤)+ 2𝛾𝑤𝑠𝑖𝑛𝜃𝑅) (7) L’unica incognita dell’equazione è la pressione 𝑝𝑔𝑎𝑠 = 213034.29 𝑃𝑎 = 2.103 𝑎𝑡𝑚 Alternativamente si può lavorare in termini di pressione relativa: Si parte dal calcolo del centro di spinta dell’acqua 𝑦𝑤 = 𝐼0 𝑀 + 𝑦𝐺 (8) 𝐼0 = 𝑅3𝐿 12 (9) 𝑀 = 𝑦𝐺𝐴 = (∆ − ℎ𝑤 sin 𝜃 + 𝑅 2)𝑅𝐿 (10) Il braccio di 𝑆𝑤rispetto ad A risulta: 𝑏𝑤 = 𝑦𝑤 − ∆ − ℎ𝑤 sin 𝜃 = 𝑅 3Δ − 3ℎ𝑤 + 2𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃 6Δ − 6ℎ𝑤 + 3𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃 (11) Dunque il momento generato dalla spinta 𝑆𝑤 è 𝑆𝑤𝑏𝑤 = 1 6 𝐿𝛾𝑤𝑅2(3Δ − 3ℎ𝑤 + 2𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃) (12) L’equilibrio dei momenti rispetto alla cerniera in A è: 𝑆𝑜𝑏𝑜 + 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃𝑅 2 = 𝑆𝑤𝑏𝑤 (13) 𝐿𝑅2 1 6 (3𝑝𝑔𝑎𝑠,𝑟𝑒𝑙 + 3𝛾𝑜ℎ𝑜 + 2𝛾𝑜𝑠𝑖𝑛𝜃𝑅)+ 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃𝑅 2 = 1 6…