Soluzione fac simile

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Metodi Analitici (Ing. energetica), proff. Cerutti, Verzini Appello del 27 agosto 2020 Parte A. A.1 Stabilire se l’eventuale soluzione u del seguente problema di Cauchy-Neumann per l’equazione del calore ` e unica, motivando a parole la risposta:   ut−uxx = 0 x∈ (0, 1), t> 0 u(x, 0) =g(x) x∈ (0, 1), −ux(0,t ) =ux(1,t ) = 0 t> 0. A.2 Determinare il minimo sulla chiusura di B della soluzione u del seguente problema di Dirichlet per l’equazione di Laplace, motivando a parole la risposta:{ ∆u(x,y ) = 0 ( x,y )∈B u(x,y ) =y2− 1 ( x,y )∈∂B, doveB ={(x,y ) :x2 +y2 < 1} A.3 Data la funzione f(x) =πe−2π|x| calcolare la trasformata di Fourier del prodotto di convoluzione f∗f. A.4 Si consideri il seguente problema di Cauchy: { y′′(t) + 2y′(t) +y(t) =t + 1, t> 0, y(0) = 0, y ′(0) = 1. Si trasformi tale problema mediate la trasformata di Laplace e si riporti l’espressione per Y (s) =L[y(t)](s). Parte B. B.1 `E dato il problema di Dirichlet per l’equazione di Laplace    ∆u(x,y ) = 0, (x,y )∈ (0, 1)× (0, 1), u(0,y ) = 0, u (1,y ) = 0, y ∈ (0, 1), u(x, 0) = 0, u (x, 1) = 1 8(x−x2), x ∈ (0, 1). a) Utilizzando il metodo di separazione delle variabili determinarne una soluzione. B.2 Dopo aver scritto una formulazione debole del problema { −u′′(x) =e−x2 x∈ (0, 1), u(0) = 0, u ′(1) +u(1) = 1, enunciare il teorema di Lax-Milgram e stabilire l’applicabilit` a del Teorema di Lax-Milgram e dare una stima della norma della soluzione. 1 丨鼉 ! 0