Soluzionedellaprovadel11settembre2013

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e geometria Appello Docente: 11 Settembre 2013 Cognome: Nome: Matricola: • Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giustificate 1. Sia {e1, e2, e3, e4}la base canonica di R4 e sia L : R4 →R4 l’applicazione lineare tale che L(e1) = e1 − e3, L(e2) = e2 + e4, L(e3) = e2, L(e4) = e4. a) Scrivere la matrice rappresentativa di L rispetto alla base canonica di R4; b) Determinare nucleo e immagine di L precisandone la dimensione e una base; c) Determinare la dimensione del nucleo e dell’immagine di L2; d) Stabilire se il vettore v = [1 , 5, −1, 3]T ammette controimmagini tramite L e, in caso affermativo determinare la fibra sopra v. Soluzione. La matrice rappresentativa di L si costruisce accostando per colonne le coordinate dei trasformati dei vettori della base canonica (rispetto alla base canonica). Si ottiene: A =   1 0 0 0 0 1 1 0 −1 0 0 0 0 1 0 1   . Il fatto che det   0 1 1 −1 0 0 0 1 0   . mostra che r(A) = 3 quindi dim Im( L) = r(A) = 3 e dim ker( L) = 4 − r(A) = 1. Una base per Im(L) ` e data dalle prime tre colonne diA, ovvero [1, 0, −1, 0]T , [0, 1, 0, 1]T , [0, 1, 0, 0]T . Per determinare ker( L) si risolve il sistema omogeneo avente A come matrice dei co- efficienti. Si trova x1 = 0, x2 + x3 = 0, x2 + x4 = 0, ovvero x1 = 0, x3 = x4 = −x2, quindi il generico vettore di ker( L) ` e della forma x2[0, 1, −1, −1]T , con x2 ∈R, e una base del nucleo ` e{[0, 1, −1, −1]T }. La matrice rappresentativa di L2 ` eA2: A2 =   1 0 0 0 −1 1 1 0 −1 0 0 0 0 2 1 1   . Semplici conti mostrano che r(A2) = 3 quindi dim Im( L2) = r(A2) = 3 e dim ker( L2) = 4 −…