Soluzioneprovadel18luglio2013

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e geometria Appello Docente: 18 Luglio 2013 Cognome: Nome: Matricola: • Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giustificate 1. Data la matrice A = [ 1 2 −1 1 ] , sia X una generica matrice in MR(2, 2). Sia L : MR(2, 2) →MR(2, 2) definita da L(X) = AX − XA. a) Verificare che L ` e un’applicazione lineare; b) determinare il nucleo di L precisandone la dimensione e una base; c) determinare la fibra sopra la matrice B = [1 0 0 −1 ] . Soluzione. (a) La linearit` a di L pu` o essere dimostrata come segue: siano X1, X2 ∈ MR(2, 2) e t, s ∈R. Si ha, usando le propriet` a del prodotto di matrici: L(tX1 + sX2) = A(tX1 + sX2) − (tX1 + sX2)A = tAX1 + sAX2 − tX1A + sX2A = t(AX1 − X1A) + s(AX2 − X2A) = tL(X1) + sL(X2). (b) Scriviamo esplicitamente l’applicazione lineare L ponendo X = [x y z t ] . Otteniamo L(X) = [y + 2z −2x + 2t −x + t −y − 2z ] quindi L(X) ` e la matrice nulla se e solo se x = t e y0 − 2z e X appartiene al nucleo di mathf rakL se e solo se ` e della forma [t −2z z t ] = t [1 0 0 1 ] + z [0 −2 1 0 ] = tB1 + zB2. Le matrici B1 e B2 sono linearmente indipendenti e quindi formano una base di ker( L) che ha quindi dimensione 2. (c) La fibra sopra B ` e data daB0 + ker(L) dove B0 ` e una controimmagine diB tramite L. Risolviamo il sistema y + 2z = 1, −2x + 2t = 0, −x + t = 0, −y − 2z = −1 ponendo x = t = 0 e z = 0 si trova y = 1 quindi B0 = [0 1 0 0 ] e la fibra sopra B ` e data dagli elementi del tipo B0 + tB1 + zB2, t, z ∈R. 2. Si consideri la matrice A =   5 −3 −3 −3 5 −3 −3 k 5   . a) Determinare k ∈R in modo che la matrice sia ortogonalmente diagonalizzabile;…