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Es. 1 (8 punti) Es. 2 (12 punti) Es. 3 (6 punti) Es. 4 (7 punti) T otale Algebra lineare e Geometria Appello luglio Ingegneria Matematica 15 luglio 2016 Cognome: Nome: Matricola:  T utte le risposte devono essere giusti cate. Non  e consentito l'uso di cellulari o di altri apparecchi elettronici. 1. Sia A una matrice quadrata reale di ordine 3. Si supponga che A abbia un autovalore 1 = 2, che det(A) = 36 e che tr( A) = 11. (a) Si determinino gli altri due autovalori 2 <  3 di A. (b) Si assuma che v1 = [0 ; 1; 1]T , v2 = [ 1; 1; 1]T e v3 = [2 ; 1; 1]T siano autovettori di A relativi agli autovalori 1, 2 e 3 rispettivamente. Si veri chi che v1, v2 e v3 sono a due a due ortogonali in R3, quindi si scriva la matrice A (includere i conti con cui si determina A). Soluzione Siccome il determinante  e il prodotto degli autovalori e la traccia ne  e la somma, 23 = 18 e 2 + 3 = 9, da cui segue 2 = 3 e 3 = 6. I tre vettori dati sono a due a due ortogonali, normalizzandoli si trova una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A, per cui A  e simmetrica e per la decomposizione spettrale A = 3∑ i=1 i ∥vi∥2 vivT i = 2 4 5 1 1 1 3 1 1 1 3 3 5 : 1 2. (a) Mostrare che i vettori v1 = [1; 0; 1]T , v2 = [0; 1; 1]T e v3 = [1; 1; 3]T formano una base B di R3. (b) Sia L : R3 ! R3 l'applicazione lineare tale che L(v1) = 2 4 1 4 7 3 5 ; L(v2) = 2 4 4 1 7 3 5 ; L(v3) = 2 4 1 1 1 3 5 : Scrivere la matrice A che rappresenta L rispetto alla base B. Determinare se possibile una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A. Soluzione La matrice S che ha per colonne v1, v2 e v3 ha determinante diverso da zero, per cui i tre vettori dati formano una base B di R3, e l'applicazione L  e ben de nita. Si osservi che un vettore y 2 R3 ha coordinate Y = S 1y rispetto alla…