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Soluzioni Algebra lineare e Geometria Seconda Prova intermedia Ingegneria Matematica 27 giugno 2016 1. Per quali valori del parametro reale k la matrice Ak = 2 4 2 3 3 + k 0 5 k k 0 k k + 5 3 5 :  e diagona- lizzabile da una matrice reale? Per tali valori si determini una base di R3 formata da autovettori di Ak Soluzione Il polinomio caratteristico  eP () = ( 2)( 5)2 indipendentemente da k. L'autovalore doppio  = 5 ha molteplicit a geometrica 2 se e solo se k = 0, per cui A  e diagonalizzabile se e solo se k = 0. Una base di R3 formata da autovalori di A0  e f[1; 0; 0]T ; [ 1; 1; 0]T ; [1; 0; 1]T g: 2. Si ponga A = 2 664 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 3 775 : 2.1 Si determini una matrice a scala U ottenuta con operazioni elementari sulle righe di A. Si trovi una base ortonormale di Ker( A) (ortonormale rispetto al prodotto standard di R4). 2.2 Si determini la proiezione ortogonale di v = [1; 3; 1; 2]T su Ker( A). 2.3 Si spieghi perch e lo spazio colonna H di A coincide con lo spazio riga di A. Sia L : H ! H l'endomor smo di H de nito da L(v) = Av. Si determinino gli autovalori e gli autovettori di L (suggerimento: una base di H  e formata dalle righe non nulle di U; si scriva la matrice di L rispetto a tale base). 2.4 Si determini una base ortonormale di R4 formata da autovettori di A (suggeri- mento: autovalori e autovettori di A sono determinati in 2.1 e 2.3). Soluzione Usiamo il simbolo y per denotare una sequenza non speci cata di operazioni elementari sulle righe: 2 664 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 3 775 y 2 664 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 5 0 0 0 0 3 775 y 2 664 1 1 1 1 0 0 1 3 0 0 2 6 0 0 0 0 3 775 y 2 664 1 1 1 1 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 3 775 = U Una base per il nucleo  e formata dai vettori v1 = [ 1; 1; 0; 0]T e v2 = [2 ; 0; 3; 1]T . La proiezione…